Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Kẻ \(AH\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(SAH\right)\Rightarrow\widehat{SHA}\) là góc cần tìm

\(\left\{{}\begin{matrix}cos\widehat{ABO}=\frac{OB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin\widehat{ABO}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow sinB=2sin\widehat{ABO}.cos\widehat{ABO}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=AB.sinB=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\)

\(AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow SA=\sqrt{SO^2-AO^2}=\frac{4a\sqrt{3}}{3}\)

\(tan\widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\sqrt{6}\Rightarrow\widehat{SHA}=...\)

Bạn kiểm tra lại tính toán

a/ Đề sai

b/ Gọi H là trung điểm OC \(\Rightarrow\) MH là đường trung bình tam giác SOC

\(\Rightarrow MH//SO\Rightarrow MH\perp\left(ABCD\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAC\right)\perp\left(MBD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{MOH}\) là góc giữa (MBD) và (ABCD)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(OM=\frac{1}{2}SC=\frac{a\sqrt{5}}{4}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MOH}=\frac{OH}{OM}=\sqrt{\frac{2}{5}}\Rightarrow\widehat{MOH}\approx50^046'\)

c/ Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow AB\perp\left(SON\right)\Rightarrow\widehat{SNO}\) là góc giữa (SAB) và (ABCD)

\(ON=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\) ; \(SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(tan\widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SNO}=60^0\)

\(SA\cap\left(SHK\right)=H\Rightarrow\) góc giữa SA và (BHK) là góc giữa SH và (BHK)

\(SC\perp\left(BHK\right)\Rightarrow SK\perp\left(BHK\right)\Rightarrow HK\) là hình chiếu vuông góc của SH lên (BHK)

\(\Rightarrow\widehat{SHK}\) là góc giữa SA và (BHK)

\(SA=\sqrt{SB^2+AB^2}=...\)

\(SB^2=SH.SA\Rightarrow SH=\frac{SB^2}{SA}=...\)

\(BC=\frac{AB}{sin60^0}=...\Rightarrow SC=\sqrt{SB^2+BC^2}=...\)

\(SB^2=SK.SC\Rightarrow SK=\frac{SB^2}{SC}=...\)

\(\Rightarrow HK=\sqrt{SH^2-SK^2}=...\)

\(\Rightarrow cos\widehat{SHK}=\frac{HK}{SH}=...\)

Đề vừa thiếu vừa sai :)

Thiếu dữ kiện liên quan đỉnh S

Và câu a chắc chắn sai, vì chóp đều thì ABC là tam giác đều, nhưng câu a lại bắt chứng minh \(BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AC\Rightarrow\) tam giác ABC vuông tại C (vô lý)

Gọi H là trung điểm AD

\(\Rightarrow SH\perp AD\) (trung tuyến là đường cao trong tam giác đều)

Mà AD là giao tuyến của 2 mặt phẳng vuông góc (SAD) và (ABCD)

\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AB\) (1)

Lại có \(AB\perp AD\) (giả thiết) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

\(AB\in\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SAD\right)\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Lại có \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hv)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) (1)

\(\Rightarrow\widehat{CSB}\) là góc giữa SC và (SAB)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{CSB}\approx41^0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\) (2)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

\(tan\widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=30^0\)

Từ (1) \(\Rightarrow BC\perp AH\), mà \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\) (3)

Từ (2) \(\Rightarrow CD\perp AK\), mà \(AK\perp SD\Rightarrow AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AK\perp SC\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\) \(\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(AHK\right)\)