Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Phân giác góc A và góc B cắt EF ở I và K. Cm
a, tam giác AIE và tam giác BKF cân
b, tam giác AID và tam giác BKC vuông
c, IF=1/2 AD và KF=1/2BC
d, Cho AB=5cm, CD=13cm, AD=6cm, BC=7cm. Tính IK
a, Xét hình thang ABCD có EF là đường trung bình ta có:
\(AB\text{//}EF;CD\text{//}EF;EF=\dfrac{AB+CD}{2}\)
(theo tính chất đường trung bình của hình thang)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAI}=\widehat{BAI}=\widehat{AIE}\left(slt\right)\\\widehat{FBK}=\widehat{ABK}=\widehat{BKF}\left(slt\right)\end{matrix}\right.\)(1)
\(\Rightarrow\Delta AEI;\Delta BKF\) cân tại E và F.(đpcm)
b, Vì \(\Delta AEI;\Delta BKF\) cân tại E và F nên \(\left\{{}\begin{matrix}AE=IE=DE\\BK=FK=CF\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta EID;\Delta FKC\) cân tại E và F
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EID}=\widehat{EDI}\\\widehat{FKC}=\widehat{FCK}\end{matrix}\right.\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AID}=90^o\\\widehat{BKC}=90^o\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AID;\Delta BKC\) vuông tại I và K(đpcm)
c, Xét \(\Delta AID;\Delta BKC\)vuông tại I và K(cmt) có IE và KF là đường trung tuyến ta có:
\(IE=\dfrac{1}{2}AD;KF=\dfrac{1}{2}BC\) (do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
d, Theo câu a ta có:
\(EF=\dfrac{AB+CD}{2}\Rightarrow EF=\dfrac{5+13}{2}=\dfrac{18}{2}=9\left(cm\right)\)
Theo câu c ta có:
\(IE=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow IE=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)
\(KF=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow KF=\dfrac{1}{2}.7=3,5\left(cm\right)\)
Ta có:
\(EI+IK+KF=EF\)
\(\Rightarrow IK=EF-EI-KF=9-3-3,5=2,5\left(cm\right)\)
Vậy..................
Chúc bạn học tốt!!!
