Bài 4: Đường tiệm cận - Hỏi đáp

\(x=-1\) là TCĐ và \(y=1\) là TCN

\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|\frac{x+2}{x+1}-1\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+\frac{1}{\left|x+1\right|}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|^2-4\left|x+1\right|+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x+1\right|=2+\sqrt{3}\\\left|x+1\right|=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{3}\\x=-3-\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{3}\\x=-3+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=...\)

Để ĐTHS có tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow m-5\ne-3\Rightarrow m\ne2\)

Khi đó \(x=-m+5\) là tiệm cận đứng

Thay vào ta được:

\(-1=2\left(-m+5\right)-1\Leftrightarrow m=5\) (thỏa mãn)

ĐKXĐ: \(0< x\le2\)

Miền xác định của hàm không chứa vô cùng nên hàm ko có tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{2-x}}{\left(x-1\right)\sqrt{x}}=-\infty\) nên \(x=0\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{2-x}}{\left(x-1\right)\sqrt{x}}=\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng

a) Vì ( hoặc ) nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì ( hoặc ) nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Tiệm cận đứng : x = -1 ; tiệm cận ngang : y = -1.

c) Tiệm cận đứng : ; tiệm cận ngang :

d) Tiệm cận đứng : x = 0 ; tiệm cận ngang : y = -1.

a) Ta có:

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = –1.

b) Ta có:

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = –1.

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = –1.

c) Ta có:

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2/5.

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2/5.

d) Ta có:

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 0 (trục Oy)

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -1.

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn.

+ Nếu có hoặc thì y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Nếu có ít nhất 1 trong các điều kiện : hoặc hoặc hoặc thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Lưu ý : Có thể có hai hoặc nhiều tiệm cận ngang hoặc tiệm cận đứng.

Câu đầu tìm m để ĐTHS làm sao bạn?

2.

\(x=1\) là TCĐ của ĐTHS \(\frac{mx^2-3x}{x-1}=0\) khi và chỉ khi \(mx^2-3x=0\) không có nghiệm \(x=1\)

\(\Leftrightarrow m.1^2-3.1\ne0\Leftrightarrow m\ne3\)

Do \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1-\sqrt{x^2+3x}}{x^2+\left(m+1\right)x-m-2}=0\) với mọi m nên hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang \(y=0\)

Để hàm số có đúng 2 tiệm cận thì nó có thêm đúng 1 tiệm cận đứng

Xét 2 hàm số:

\(\left\{{}\begin{matrix}g\left(x\right)=x+1-\sqrt{x^2+3x}\\f\left(x\right)=x^2+\left(m+1\right)x-m-2=\left(x-1\right)\left(x+m+2\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) có 1 nghiệm chung \(x=1\) nên bài toán thỏa mãn khi:

TH1: \(m+2=-1\Rightarrow m=-3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-3\\\left[{}\begin{matrix}-m-2\ge0\\-m-2\le-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-3\\\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x-1}{\left(mx^2-2x+1\right)\left(4x^2+4mx+1\right)}=0\) nên ĐTHS luôn nhận \(y=0\) là tiệm cận ngang

Vậy ĐTHS có đúng 1 tiệm cận khi và chỉ khi ĐTHS không có tiệm cận đứng

- Với \(m=0\Rightarrow y=\frac{2x-1}{\left(-2x+1\right)\left(4x^2+1\right)}\) không có TCĐ (thỏa mãn)

- Với \(m\ne0\) ĐTHS không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}mx^2-2x+1=0\\4x^2+4mx+1=0\end{matrix}\right.\) đều vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1'=1-m< 0\\\Delta'_2=4m^2-4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\-1< m< 1\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)

Vậy \(m=0\)

Đáp án D

ĐTHS có 2 tiệm cận đứng khi và chỉ khi \(x^2-2mx+5=0\) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-2m\ne0\\\Delta'=m^2-5>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{5}\\m< -\sqrt{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\left\{-5;-4;-3;4;5\right\}\) có 5 giá trị

1.

Để ĐTHS có 2 tiệm cận thì \(m\ne-3\)

Khi đó:

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{mx-3}{x+1}=m\Rightarrow y=m\) là tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{mx-3}{x+1}=\infty\Rightarrow x=-1\) là tiệm cận đứng

Giao điểm 2 tiệm cận có tọa độ \(A\left(-1;m\right)\)

Để A thuộc \(y=x+3\Leftrightarrow m=-1+3\Rightarrow m=2\)

2.

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}=0\Rightarrow y=0\) là 1 TCN

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}=\infty\Rightarrow x=2\) là 1 TCĐ

\(x=-2\) ko thuộc TXĐ nên ko phải là tiệm cận

Vậy ĐTHS có 2 tiệm cận

3.

Để ĐTHS có đúng 2 TCĐ \(\Leftrightarrow x^2-mx+5=0\) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-m\ne0\\\Delta=m^2-20>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne6\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\sqrt{5}\\m\le-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\left\{5;-5\right\}\)

Đề bài sai hoặc đáp án sai

1.

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{3x-2}{x+1}=3\Rightarrow y=3\) là tiệm cận ngang

2.

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{-2x}{x-2}=\infty\Rightarrow x=2\) là tiệm cận đứng

3.

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x-2}{x^2-1}=0\Rightarrow y=0\) là tiệm cận ngang

4.

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x-1}{x^2-x}=0\Rightarrow y=0\) là tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x-1}{x^2-x}=\infty\Rightarrow x=0\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{x^2-x}=1\) hữu hạn nên \(x=1\) ko phải tiệm cận đứng

ĐTHS có 2 tiệm cận

\(-\sqrt{10}\le x\le\sqrt{10}\)

Do \(-4\) ko thuộc TXĐ của hàm số nên \(x=-4\) ko phải TCĐ

Do miền xác định của hàm số ko chứa vô cực nên hàm không có tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{10-x^2}-2x-1}{x^2+3x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{10-x^2-\left(2x+1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(\sqrt{10-x^2}+2x+1\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{-\left(x-1\right)\left(5x+9\right)}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(\sqrt{10-x^2}+2x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{-5x-9}{\left(x+4\right)\left(\sqrt{10-x^2}+2x+1\right)}=\frac{-14}{5.\left(3+3\right)}\) hữu hạn

\(\Rightarrow x=1\) không phải TCĐ

Vậy ĐTHS không có tiệm cận

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le-2\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-5}f\left(x\right)=\infty\) nên \(x=-5\) là 1 tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{x^2-4}}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{5}{x}\right)}=1\)

\(\Rightarrow y=1\) là 1 TCN

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\sqrt{x^2-4}}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\frac{-\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{5}{x}\right)}=-1\)

\(\Rightarrow y=-1\) là 1 TCN

Vậy ĐTHS đã cho có 3 đường tiệm cận (\(x=1\) ko thuộc TXĐ nên ko phải là TCĐ đâu)

ĐK là \(x^2-mx-3m=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_2>x_1\ge-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\af\left(-1\right)\ge0\\\frac{S}{2}>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0< m\le\frac{1}{2}\)

B

\(f\left(x\right)=m\sqrt{x+1}-x+m\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{m}{2\sqrt{x+1}}-1=\frac{m-2\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}\)

- Với \(m\ge6\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\in\left[3;8\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(8\right)=4m-8=3\Rightarrow m=\frac{11}{4}\left(l\right)\)

- Với \(m\le6\Rightarrow f'\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in\left[3;8\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(3\right)=3m-3=3\Rightarrow m=2\)

- Với \(6< m< 8\Rightarrow f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{m^2-4}{4}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(\frac{m^2-4}{4}\right)=m\left(1+\frac{m}{2}\right)-\frac{m^2-4}{4}=3\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2-2\sqrt{3}\left(l\right)\\m=-2+2\sqrt{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(y=\frac{\left(a-2b\right)x^2+bx+1}{x^2+x-b}\)

Nếu \(a-2b\ne0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(a-2b\right)x^2+bx+1}{x^2+x-b}=a-2b\ne0\) \(\Rightarrow y=0\) ko phải TCN (loại)

\(\Rightarrow a-2b=0\)

Do hàm số có TCĐ \(x=1\Rightarrow\) phương trình \(x^2+x-b=0\) có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow1+1-b=0\Rightarrow b=2\Rightarrow a=4\)

\(\Rightarrow a+2b=8\)