Bài 4: Cấp số nhân

a,b,c thành lập một cấp số nhân \(\Rightarrow b^2=ac\Rightarrow abc=b^3=2016\Rightarrow b=6\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac=36\\a+c=13\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-13a+36=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=9\\c=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=4\\c=9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2u_1+u_1q^4=51\\2u_1q+u_1q^5=102\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u_1+u_1q^4=51\\q\left(2u_1+u_1q^4\right)=102\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow q=2\Rightarrow2u_1+u_1.2^4=51\)

\(\Rightarrow u_1=\dfrac{17}{6}\)

\(S_5=\dfrac{17}{6}.\dfrac{2^5-1}{2-1}=\dfrac{527}{6}\)

\(u_n=2u_{n-1}+3n-1\)

\(\Leftrightarrow u_n+3n+5=2\left(u_{n-1}+3\left(n-1\right)+5\right)\)

Đặt \(u_n+3n+5=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=10\\v_n=2v_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội 2

\(\Rightarrow v_n=10.2^{n-1}\Rightarrow u_n+3n+5=10.2^{n-1}\)

\(\Leftrightarrow u_n=10.2^{n-1}-3n-5\)

\(\Rightarrow u_{2019}=10.2^{2018}+3.2019-1=...\)

Theo giả thiết \(AB=AC,BC,AH,AB\) lập thành cấp số cộng cho nên ta có hệ :

\(\begin{cases}\frac{1}{q}=\frac{BC}{AH}=\frac{2HC}{AH}=2\cot C\\\frac{1}{q}=\frac{AH}{AB}=\sin B\end{cases}\)

Từ đó ta có kết quả :

\(2\cot C=\sin C\)  hay   \(2\cos C=\sin^2C=1-\cos^2C\)

                                 \(\Leftrightarrow\cos^2C+2\cos C-1=0\)

                                 \(\Leftrightarrow\cos C=-1+\sqrt{2}\) (0 < C < \(90^0\))

Do C là nhọn nên \(\sin C=\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\)

Cho nên công bội của cấp số nhân là : \(q=\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\)