Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

log\(_5\)(\(\dfrac{1}{25}=log_5\left(5^{-2}\right)=-2\)

log\(_{27}9\)=log\(_{3^3}3^2\)=\(\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) log\(_5\dfrac{1}{25}\).\(log_{27}9\)=\(\dfrac{-4}{3}\)

\(log_24=log_22^2=2\)

\(log_{\dfrac{1}{4}}2=log_{2^{-2}}2=\dfrac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow log_24.log_{\dfrac{1}{4}}2=-1\)

\(\dfrac{1}{5}\)

-1

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+1=x+3\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(S=\int\limits^2_{-1}\left|x^2-x-2\right|dx=\int\limits^2_{-1}\left(-x^2+x+2\right)dx=\left(-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+2x\right)|^2_{-1}=\dfrac{9}{2}\)

  ý a,b,c cho 2 tung độ bằng nhau => tính được x1, x2 rồi áp dụng CT diện tích như thường

ý d cũng vậy => tính được x1, x2 nhưng phải xét điều kiện của e^x (x>0)

ý e :

  ta có y' = 2x-2 mà M thuộc y' => y' = 4

  => PTTT là: y= 4x-7 

  xét x^2-2x+2 = 4x-7 

=> tính được x1, x2 rồi áp dụng công thức diện tích như 4 ý trên

a. Pt hoành độ giao điểm: \(x^3-4x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(S=\int\limits^2_0\left|x^2-4x+3\right|dx=\int\limits^1_0\left(x^2-4x+3\right)dx-\int\limits^2_1\left(x^2-4x+3\right)dx\)

\(=\left(\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x\right)|^1_0-\left(\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+3x\right)|^2_1=2\)

b. Pt hoành độ giao điểm:

\(cosx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}\\x=\dfrac{3\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(S=\int\limits^{2\pi}_0\left|cosx\right|dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0cosxdx-\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{2}}cosxdx+\int\limits^{2\pi}_{\dfrac{3\pi}{2}}cosxdx\)

\(=1-\left(-2\right)+1=4\)

c.

Ta có \(x^3-3x+6>0\) ; \(\forall x\in\left[1;3\right]\)

\(S=\int\limits^3_1\left|x^3-3x+6\right|dx=\int\limits^3_1\left(x^3-3x+6\right)dx=\left(\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}x^2+6x\right)|^3_1=20\)

d.

\(x^3-3x+1>0\) ; \(\forall x\in\left[-1;0\right]\)

\(S=\int\limits^0_{-1}\left|x^3-3x+1\right|dx=\int\limits^0_{-1}\left(x^3-3x+1\right)dx=\left(\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}x^2+x\right)|^0_{-1}=\dfrac{9}{4}\)

e.

Pt hoành độ giao điểm: \(x^3-x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

\(S=\int\limits^1_{-1}\left|x^3-x\right|dx=\int\limits^0_{-1}\left(x^3-x\right)dx-\int\limits^1_0\left(x^3-x\right)dx=\dfrac{1}{2}\)

f. Pt hoành độ giao điểm:

\(e^x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=1\)

\(S=\int\limits^1_0\left|e^x\left(x-1\right)\right|dx=\int\limits^1_0\left(1-x\right)e^xdx=e-2\)

g. Pt hoành độ giao điểm: \(xlnx=0\Leftrightarrow x=1\)

\(S=\int\limits^2_1\left|xlnx\right|dx=\int\limits^2_1xlnxdx=ln4-\dfrac{3}{4}\)

Gọi V là thể tích khi quay phần giới hạn bởi \(y=\dfrac{1}{x}\) ; x=1, y=0; Ox quanh Ox

\(\Rightarrow V=V_1+V_2\)

\(V=\pi\int\limits^5_1\dfrac{1}{x^2}dx=\dfrac{4\pi}{5}\)

\(V_1=\pi\int\limits^k_1\dfrac{1}{x^2}dx=-\dfrac{\pi}{x}|^k_1=\pi-\dfrac{\pi}{k}\)

\(\Rightarrow V_2=V-V_1=\dfrac{4\pi}{5}-\pi+\dfrac{\pi}{k}=\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{\pi}{5}\)

\(\Rightarrow\pi-\dfrac{\pi}{k}=2\left(\dfrac{\pi}{k}-\dfrac{\pi}{5}\right)\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{15}{7}\)

Ta có: \(x^4-\left(-x+2\right)^2=\left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x-2\right)\)

\(=\left(x^2-x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\le0\) ; \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left|x^4-\left(-x+2\right)^2\right|dx=\int\limits^1_0\left[\left(-x+2\right)^2-x^4\right]dx\)

\(=\int\limits^1_0\left(x^2-4x+4-x^4\right)dx=\dfrac{32}{15}\)

Đề sai hoặc thiếu hàm liên hệ y và x

Chỉ có các loại tích phân sau:

\(\int\limits^b_af\left(x\right)dx\) ; \(\int\limits^b_af\left(y\right)dy\) ; \(\int\limits^b_a\int\limits^d_cf\left(x;y\right)dxdy\) ...

Không tồn tại các tích phân dạng \(\int\limits^b_af\left(x\right)dy\) hoặc \(\int\limits^b_af\left(y\right)dx\)

\(\int\limits^1_0\left|\left(e^x\right)^2\right|dx\) chứ bạn?

Thêm biến y thì phải là tích phân 2 lớp