Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Tung độ giao điểm: \(y=4y-y^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow x=0\\y=3\Rightarrow x=3\end{matrix}\right.\)

\(x=4y-y^2=4-\left(y-2\right)^2\Rightarrow\left(y-2\right)^2=4-x\)

\(\Rightarrow y=2+\sqrt{4-x}\) với \(y\ge2\)

\(y=2-\sqrt{4-x}\) với \(y\le2\)

Thể tích:

\(V=\pi\int\limits^3_0x^2dx+\pi\int\limits^4_3\left(2+\sqrt{4-x}\right)^2dx-\pi\int\limits^4_0\left(2-\sqrt{4-x}\right)^2dx=\frac{27\pi}{2}\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(1+sinx=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pi\end{matrix}\right.\) ; \(\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=1\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow y=2\end{matrix}\right.\)

\(sinx=y-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi-arcsin\left(y-1\right)\\x=arcsin\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(V=\pi\int\limits^2_1\left(\pi-arcsin\left(y-1\right)\right)^2dy-\pi\int\limits^2_1arcsin^2\left(y-1\right)dy\)

\(=\pi\int\limits^1_0\left(\pi^2-2\pi.arcsint+arcsin^2t\right)dt-\pi\int\limits^1_0arcsin^2t.dt\) (với \(t=y-1\))

\(=\pi\int\limits^1_0\pi^2dt-2\pi^2\int\limits^1_0arcsintdt\)

\(=\pi^3-2\pi^2\left(t.arcsint+\sqrt{1-t^2}\right)|^1_0\)

\(=\pi^3-2\pi^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=2\pi^2\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x\left(1+5x^2\right)^3=0\Rightarrow x=0\)

Diện tích:

\(S=\int\limits^1_0x\left(1+5x^2\right)^3dx=\int\limits^1_0\left(125x^7+75x^5+15x^3+x\right)dx\)

\(=\left(\frac{125}{8}x^8+\frac{25}{2}x^6+\frac{15}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2\right)|^1_0=\frac{258}{8}\)

b/ Phương trình hoành độ giao điểm:

\(cos^2x=0\Rightarrow x=\pi>\frac{\pi}{4}\)

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0cos^2xdx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{2}\left(1+cos2x\right)dx=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}sin2x\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}\)

Ko cho h, r là số âm hay dương hả bạn?

Bất kì thì phải chia nhiều trường hợp lắm

Khi h,r cùng dấu thì thực ra đều như nhau nên chỉ cần tính cho trường hợp 2 cái cùng dương (2 cái cùng âm thì lấy trị tuyệt đối là được).

Gọi \(C\left(0;r\right)\) thì thể tích vật tròn xoay cần tính bằng thể tích khi quay hình chữ nhật OABC quanh Oy (là hình trụ chiều cao \(AB=r\), bán kính đáy \(OA=h\)) trừ thể tích khi quay tam giác OBC quanh Oy (là hình nón có chiều cao \(OC=r\), bán kính đáy \(BC=h\))

Do đó:

\(V=\pi h^2r-\frac{1}{3}\pi h^2r=\frac{2}{3}\pi h^2r\)

Vật thể giới hạn bởi đường tròn tâm \(I\left(b;0\right)\) bán kính \(R=a\) quay quanh Oy

Do \(0< a\le b\) nên vật thể không cắt Oy tại nhiều hơn 1 điểm (cùng lắm là tiếp xúc Oy khi a=b)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=b-\sqrt{a^2-y^2}\\x=b+\sqrt{a^2-y^2}\end{matrix}\right.\)

Thể tích vật thể:

\(V=\pi\int\limits^a_{-a}\left[\left(b+\sqrt{a^2-y^2}\right)^2-\left(b-\sqrt{a^2-y^2}\right)^2\right]dy\)

\(=4\pi b\int\limits^a_{-a}\sqrt{a^2-y^2}dy\)

Đặt \(y=a.sint\Rightarrow dy=a.cost\)

\(\Rightarrow V=4\pi b\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}a^2cos^2t=2a^2b\pi^2\)

Câu 3:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^3=x^2-4x+4\Leftrightarrow x^3-x^2+4x-4=0\Rightarrow x=1\)

\(x^3=0\Rightarrow x=0\)

\(x^2-4x+4=0\Rightarrow x=2\)

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^1_0x^3dx+\int\limits^2_1\left(x^2-4x+4\right)dx=\frac{7}{12}\)

Câu 4:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^3-3x+2=x+2\Leftrightarrow x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^0_{-2}\left(x^3-3x+2-x-2\right)dx+\int\limits^2_0\left(x+2-x^3+3x-2\right)dx=8\)

Câu 1:

Phương trình hoành độ giao điểm: \(cosx=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0cosxdx-\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}cosxdx=2\)

Câu 2:

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x.e^x=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^3_0xe^x-\int\limits^0_{-2}xe^xdx\)

Xét \(I=\int x.e^xdx\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.e^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C=\left(x-1\right)e^x+C\)

\(\Rightarrow S=\left(x-1\right)e^x|^3_0-\left(x-1\right)e^x|^0_{-2}=2e^3+1-\left[-1+\frac{3}{e^2}\right]=2e^3+2-\frac{3}{e^2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\)

Thể tích khối tròn xoay:

\(V=\pi\int\limits^2_{-2}\left(16-x^4\right)dx=\frac{256\pi}{5}\)

Do \(e^x>0;\forall x\)

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^2_0e^xdx=e^x|^2_0=e^2-1\)