Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC=7/2=3,5

\(AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}\)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HM là đường cao

nên HM*AC=AH*HC

=>HM*7=7/2*căn 3*3,5=49/4*căn 3

=>HM=7/4*căn 3

AM=AH^2/AC=21/4

CM=7-21/4=7/4

Đề sai rồi bạn

a: Xét ΔIAB có IE là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AI}{IB}\)

=>\(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AI}{IC}\left(1\right)\)

Xét ΔIAC có IQ là phân giác

nên \(\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{IA}{IC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AQ}{QC}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AQ}{QC}\)

nên EQ//BC

b: Xét ΔABI có EO//BI

nên \(\dfrac{EO}{BI}=\dfrac{AO}{AI}\left(3\right)\)

Xét ΔAIC có OQ//IC

nên \(\dfrac{OQ}{IC}=\dfrac{AO}{AI}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{EO}{BI}=\dfrac{OQ}{IC}\)

mà BI=IC

nên EO=OQ

=>O là trung điểm của EQ

1. Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.

Gọi I là giao điểm của đường phân giác góc B và đường phân giác góc C.

Ta cần chứng minh MN // BC.

Ta có:

∠BIM = ∠CIM (do I nằm trên đường phân giác góc B và đường phân giác góc C)

∠BIM = ∠CIM = ∠BIC/2 (do I nằm trên đường phân giác góc B và đường phân giác góc C)

∠BIC = ∠BAC (do tam giác ABC cân tại A)

∠BIC = ∠BAC = ∠BCA (do tam giác ABC cân tại A)

Do đó, ta có ∠BIM = ∠CIM = ∠BCA.

Từ đó, ta có MN // BC (do ∠MNI = ∠BCA và ∠MIN = ∠BAC).

Vậy ta đã chứng minh MN // BC.

2. a) Ta có BF/BE = 2/3.

Gọi x là độ dài của BE.

Do BF/BE = 2/3, ta có BF = (2/3)x.

Gọi y là độ dài của FE.

Do FE = 12cm, ta có y = 12cm.

Gọi z là độ dài của IF.

Do I là giao điểm của FE và BD, ta có IF/FE = BD/BE.

Do đó, IF/12 = BD/x.

Ta có BD = BC + CD = BC + BA = BC + BE.

Do đó, IF/12 = (BC + BE)/x.

Ta có BF/BE = 2/3, nên BF = (2/3)x.

Do đó, BC = BF + FC = (2/3)x + (1/3)x = x.

Vậy, IF/12 = (x + x)/x = 2.

Từ đó, ta có IF = 2 * 12 = 24cm.

Do đó, IE/IF = BE/FE = x/12.

Vậy, IE/IF = x/12.

b) Giả sử FE = 12cm.

Từ phần a), ta đã tính được IF = 24cm.

Do đó, IE/IF = x/12.

Ta cần tính x.

Ta có BF/BE = 2/3, nên BF = (2/3)x.

Do BF = (2/3)x và BC = x, ta có BC = BF + FC.

Do đó, x = (2/3)x + FC.

Từ đó, FC = (1/3)x.

Vậy, BC = BF + FC = (2/3)x + (1/3)x = x.

Do đó, BC = x = 12cm.

Vậy, độ dài của IE và IF lần lượt là 12cm và 24cm.

1: Xét ΔABC có BM là phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AC}{BC}\left(1\right)\)

Xét ΔCAB có CN là phân giác

nên \(\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AC}{BC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}\)

nên MN//BC

\(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{4}{5}\)

=>\(AI=\dfrac{4}{5}AH\)

Ta có: AI+HI=AH

=>\(HI=AH-AI=AH-\dfrac{4}{5}AH=\dfrac{1}{5}AH\)

\(\dfrac{AI}{IH}=\dfrac{\dfrac{4}{5}AH}{\dfrac{1}{5}AH}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{1}{5}=4\)

Xét ΔBAH có BI là phân giác

nên \(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{AI}{IH}\)

=>\(\dfrac{10}{BH}=4\)

=>BH=10/4=2,5(cm)

ΔABC cân tại A có AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=5\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC là:

10+10+5=25(cm)

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=5^2+12^2=169\)

=>\(BC=\sqrt{169}=13\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BE là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CE}{CB}\)

=>\(\dfrac{AE}{5}=\dfrac{CE}{13}\)

mà AE+CE=AC=12

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AE}{5}=\dfrac{CE}{13}=\dfrac{AE+CE}{5+13}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(AE=5\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}\left(cm\right);CE=13\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{26}{3}\left(cm\right)\)

b: Kẻ IH\(\perp\)AC

=>IH là khoảng cách từ I xuống AC

IH\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: IH//AB

Xét ΔAEB có AI là phân giác

nên \(\dfrac{EI}{IB}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{10}{3}:5=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{EI}{EB}=\dfrac{2}{5}\)

Xét ΔEAB có HI//AB

nên \(\dfrac{HI}{AB}=\dfrac{EI}{EB}\)

=>\(\dfrac{HI}{5}=\dfrac{2}{5}\)

=>HI=2(cm)

c: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(AD=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos45\)

=>\(AD=\dfrac{2\cdot5\cdot12}{5+12}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\simeq4,99\left(cm\right)\)

Xét ΔMAB có MD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MB}\)

=>\(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MC}\left(1\right)\)

Xét ΔMAC có ME là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{MC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

nên DE//BC

Xét ΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

căn bậc hai(3-căn bậc hai(5))*(căn bậc hai(5)+3)+(3-căn bậc hai(5))*căn bậc hai(căn bậc hai(5)+3)

\(=\dfrac{\left(3-\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\left(3+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{\left(3-\sqrt{5}\right)\cdot\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(3+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{5}+3-5-\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3+5-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}\)

câu a, b dễ rồi, câu c chưa thấy ai trả lời nên mình gợi ý chút để tính được DE nhé: tam giác EDM vuông tại M( góc tạo thành bởi tia phân giác của 2 góc bù nhau) => MI=DE/2=EI=ID => tính AI = AM - MI = 8 - EI, mà EI/BM=AI/AM thay BM =BC/2=10/2=5, AI=8-EI, AM=10 sẽ tính được EI, => sẽ tính được ED=2EI