cho tam giác đều ABC và điểm O thỏa mãn OA+4OB+2OC=0 tính số đo góc AOC
Gọi độ dài AB = AC = BC = a
\(\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
⇒ \(7\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)
⇒ \(7\overrightarrow{OA}=4\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
⇒ \(7\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
⇒ \(7\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\)
Vậy \(\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}=\left(4\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right)\left(2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{2CA}\right)\)
⇒ \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=\) 0 (bạn khai triển ra là được)
Vậy \(\widehat{AOC}=90^0\)
Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(x+1;y+3\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2}\\AB=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Tam giác ABM vuông tại A và có diện tích 4
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\\\dfrac{1}{2}AM.AB=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1-\left(y+3\right)=0\\\sqrt{2\left(x+1\right)^2+2\left(y+3\right)^2}=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=32\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(x-2+3\right)^2=32\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=16\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\Rightarrow y=1\\x=-5\Rightarrow y=-7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(3;1\right)\\M\left(-5;-7\right)\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Ta có:
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{MN}\)
Vì $AM,BN$ là trung tuyến nên $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với $AB$
\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Do đó:
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}\)
dễ mà ,mình bỏ chữ vecto nha
IA+IB+IC+ID=IM+MA+IM+MB+IN+NC+IN+ND
=2IM+2IN+MA+MB+NC+ND
=0