Bài 3. TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ - Hỏi đáp

Áp dụng bđt AM-GM:

\(a^2+4\ge2\sqrt{4a^2}=4a\)

\(b^2+4\ge2\sqrt{4b^2}=4b\)

\(c^2+4\ge2\sqrt{4c^2}=4c\)

\(d^2+4\ge2\sqrt{4d^2}=4d\)

Nhân theo vế suy ra đpcm.

Bạn ấy chọn điểm rơi x= và mục đích là để làm mất hết ẩn

C2 thêm bớt nhân liên hợp

PT<=>=0

xét pt

Vế trái là hàm nghịch biến vế phải là hằng số nên nghiệm kia là duy nhất

Lời giải:

ĐK: \(x\geq 1\)

Ta có:

\(16x-13\sqrt{x-1}=9\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow 13(x-\sqrt{x-1})+3(x-3\sqrt{x+1})=0\)

\(\Leftrightarrow 13(x-1-\sqrt{x-1}+\frac{1}{4})+3(x+1-3\sqrt{x+1}+\frac{9}{4})=0\)

\(\Leftrightarrow 13(\sqrt{x-1}-\frac{1}{2})^2+3(\sqrt{x+1}-\frac{3}{2})^2=0\)

Vì \((\sqrt{x-1}-\frac{1}{2})^2; (\sqrt{x+1}-\frac{3}{2})^2\geq 0\)

\(\Rightarrow 13(\sqrt{x-1}-\frac{1}{2})^2+3(\sqrt{x+1}-\frac{3}{2})^2\geq 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}=\sqrt{x+1}-\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=\frac{5}{4}\) (t.m)

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=\frac{5}{4}$

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{xy}=81\\x+y+3\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)=125\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{xy}=81\\x+y+15\sqrt[3]{xy}=125\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt[6]{xy}=t>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2t^3=81\\x+y+15t^2=125\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2t^3-15t^2+44=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=\dfrac{11+3\sqrt{33}}{4}\\t=\dfrac{11-3\sqrt{33}}{4}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(t=\dfrac{11+3\sqrt{33}}{4}\Rightarrow x+y=81-2t^3< 0\) (loại)

\(t=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=t^6=64\\x+y=81-2t^3=65\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=64\\y=65-x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\left(65-x\right)=64\Rightarrow x^2-65x+64=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=64\\x=64\Rightarrow y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là \(\left(x;y\right)=\left(64;1\right);\left(1;64\right)\)

Nếu bạn gặp khó với dấu căn, nếu căn thức làm bạn hoang mang, không sao. Hãy giải hệ đối xứng loại 1 sau đây: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3=9\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\) Với \(a=\sqrt[6]{x};b=\sqrt[6]{y}\)