Bài 3: Lôgarit

Câu 47:

Ta có \(\log_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4\)

\(\Leftrightarrow \log_3(1-xy)-\log_3(x+2y)=3(xy-1)-1+(x+2y)\)

\(\Leftrightarrow \log_3(3-3xy)+(3-3xy)=\log_3(x+2y)+(x+2y)\)

Xét hàm \(f(x)=\log_3x+x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x\ln 3}+1>0\) với \(x>0\)

Do đó , hàm là hàm đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(3-3xy)=f(x+2y)\Leftrightarrow 3-3xy=x+2y\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{3-x}{3x+2}\). Vì \(x,y>0\Rightarrow \frac{3-x}{3x+2}>0\Rightarrow 0< x< 3\)

Ta có \(P=x+\frac{3-x}{3x+2}\)

\(P'=\frac{9x^2+12x-7}{(3x+2)^2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-2+\sqrt{11}}{3}\) (chọn) hoặc \(x=\frac{-2-\sqrt{11}}{3}\) (loại vì $x>0$)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(P_{\min}=P(\frac{-2+\sqrt{11}}{3})=\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\)

Đáp án D

Bài 48:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^3-3x^2+x+2-(mx-m+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-1-m)=0\)

Để hai đths cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì pt trên phải có ba nghiệm phân biệt, tức là \(x^2-2x-(m+1)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-2-(m+1)\neq 0\\ \Delta'=1+(m+1)>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m> -2\)

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt trên thì \(x_1,x_2=\frac{-b'\pm \sqrt{\Delta'}}{a}=1\pm \sqrt{m+2}\)

Do đề bài không yêu cầu thứ tự các điểm, nên ta đặt ba giao điểm của 2 đths là:

\(A(1;1)\)

\(B(x_1; mx_1-m+1)\)

\(C(x_2;mx_2-m+1)\)

(miễn sao thỏa mãn tồn tại 2 đoạn thẳng tạo bởi 2 trong 3 điểm trên có độ dài bằng nhau)

Ta có:

\(AB=\sqrt{(x_1-1)^2+(mx_1-m)^2}=\sqrt{(x_1-1)^2(m^2+1)}=\sqrt{(m+2)(m^2+1)}\)

\(AC=\sqrt{(x_2-1)^2+(mx_2-m)^2}=\sqrt{(x_2-1)^2(m^2+1)}=\sqrt{(m+2)(m^2+1)}\)

\(BC=.....\)

Nhìn trên thì dễ thấy \(AB=AC\) luôn bằng nhau với mọi \(m>-2\), tức là thỏa mãn đkđb

Vậy \(m>-2 \) hay \(m\in (-2;+\infty)\)

Đáp án D

chưa học nên éo biết làm