Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

6^2+8^2=10^2
=>Tam giác vuông

Tham khảo:

Gọi I là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông tại A

\(\Rightarrow BC\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\(R=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

\(d\left(I;AB\right)=\dfrac{1}{2}AC=4\left(cm\right)\) ; \(d\left(I;AC\right)=\dfrac{1}{2}AB=3\left(cm\right)\)

a) Ta có:

\(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=BC^2\)

Áp dụng định lý Pytago

=> tam giác ABC vuông tại A

b) Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AB, P trung điểm AC

Vi tam giác ABC vuông tại A

=> tam giác ABC thuộc \(\left(M,\dfrac{BC}{2}\right)\)

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông 

=> AM=BM=CM

=> tam giác ABM cân tại M => MN là đường trung tuyến đồng thời là đường cao => MN⊥AB

     tam giác ACM cân tại M => MP là đường trung tuyến đồng thời là đường cao => MP⊥AC

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác

+) BMN có: \(\widehat{N}=90^o\), \(MN=\sqrt{BM^2-BN^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4cm\)

+) PCM có: \(\widehat{P}=90^o\), \(MP=\sqrt{MC^2-PC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3cm\)

Vậy ...

a: BC^2=AB^2+AC^2

=>ΔABC vuông tại A

b: tâm là O, O là trung điểm của BC

R=BC/2=5cm

Lời giải:

Ta có: $OM=OH=R$ nên $OMH$ là tam giác cân tại $O$

$\Rightarrow$ trung tuyến $OK$ đồng thời là đường cao.

Ta có:

$OM=R=6$ (cm)

$MK=\frac{MH}{2}=2$ (cm) 

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $MOK$: 

$OK=\sqrt{OM^2-MK^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$ (cm) 

Đây chính là khoảng cách từ $O$ đến dây $MH$

Do K là trung điểm MH \(\Rightarrow OK\perp MH\)

\(KH=\dfrac{1}{2}MH=2\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông OKH:

\(OK=\sqrt{OH^2-KH^2}=\sqrt{R^2-KH^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow d\left(O;MH\right)=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Giả sử : \(OA\) vuông góc \(CD\)

Ta có Khoảng cách từ tâm \(O\) vuông góc với dây \(CD\)

\(\Rightarrow A\) la trung điểm \(CD\)

\(\Rightarrow CA=DA=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\)

Xét tam giác vuông \(OAD\) có

\(OA^2+AD^2=OD^2\left(pytago\right)\\ \Rightarrow AO=\sqrt{OD^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

Vậy khoảng cách từ tâm \(O-->\) dây \(CD\) là \(8\left(cm\right)\)

Vẽ OH vuông góc CD tại H. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến CD

Suy ra H là trung điểm CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra CH = 6 (cm)

Tam giác OCH vuông tại H

Suy ra: OC² = OH² + CH² (Pytago)

Suy ra OH² = OC² - CH²

= 10² - 6² = 64

Suy ra OH = 8 (cm)

Vậy khoảng cách từ O đến CD là 8 cm

- Xét \((O)\): AB là dây cung không đi qua tâm, C là trung điểm AB.

\(\implies OC \perp AB\) tại C, \(OC=3cm\)

- ΔOAC vuông tại C có:

\(OA^2=AC^2+OC^2 \implies OC^2=OA^2-AC^2 (1)\)

 - ΔDAC vuông tại C có:

\(AD^2=AC^2+CD^2 \implies AC^2=AD^2-CD^2 (2)\)

(1), (2) \(\implies OC^2=OA^2-AD^2+CD^2\)

\(\implies OC^2-CD^2=R^2-(2\sqrt{5})^2\)

\(\implies (OC-CD)(OC+CD)=R^2-20\)

\(\implies (2OC-OD)R=R^2-20\)

\(\implies (2.3-R)R=R^2-20\)

\(\implies 6R-R^2=R^2-20\)

\(\implies R^2-3R-10=0\)

\(\implies (R-5)(R+2)=0\)

\(\implies R=5 (nhận) hay R=-2(loại)\)

Vậy \(R=5\)

Kẻ OK vuông góc CD

=>d(O;CD)=d(O;EF)=OK và K là trung điểm của CD

=>KD=11,5cm

=>OK=R^2-11,5^2