Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 12 2020 lúc 18:00

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow BM=\dfrac{BC}{2}=a\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\) đều \(\Rightarrow AM=a\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2a}{3}\)

\(A'G\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{A'AG}=60^0\)

\(\Rightarrow A'G=AG.tan60^0=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.BC.sinB=...\)

\(\Rightarrow V_{A'ABC}=\dfrac{1}{3}A'G.S_{ABC}=...\)

\(A'B=\sqrt{A'G^2+BG^2}=\sqrt{A'G^2+AB^2+AG^2-2AB.AG.cos60^0}=...\)

\(A'C=\sqrt{A'G^2+CG^2}=\sqrt{A'G^2+\dfrac{2}{3}\left(BC^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2-2.BC.\dfrac{AB}{2}.cos60^0\right)}=...\)

\(\Rightarrow S_{\Delta A'BC}\) theo công thức Herong

\(\Rightarrow d\left(G;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3V_{A'ABC}}{S_{\Delta A'BC}}=...\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 11 2020 lúc 22:11

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABC\right)\)

\(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(V=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{8}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 11 2020 lúc 22:14

Gọi H là hình chiếu của S lên đáy

\(\Rightarrow\widehat{SBH}\) là góc giữa SB và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SBH}=45^0\Rightarrow SH=BH.tan45^0=2a\)

\(V=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}SH.AB.\frac{\left(AD+BC\right)}{2}=4a^3\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 10 2020 lúc 17:28

1.

Công thức tính của dạng bài này:

Câu hỏi của Khánh Huyền - Toán lớp 12 | Học trực tuyến

Áp dụng:

\(V=\frac{2.3.7}{6}.\sqrt{1+2cos^360^0-3cos^260^0}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\)

2.

Qua A kẻ đường thẳng song song BD lần lượt cắt CB và CD kéo dài tại E và F \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=BE\\CD=DF\end{matrix}\right.\)

Nối ME cắt SB tại B', nối MF cắt SD tại D'

Áp dụng Menelaus cho tam giác SBC:

\(\frac{MS}{MC}.\frac{CE}{EB}.\frac{BB'}{B'S}=1\Leftrightarrow1.2.\frac{BB'}{B'S}=1\Rightarrow\frac{BB'}{B'S}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\frac{SB'}{SB}=\frac{2}{3}\)

Tương tự ta có \(\frac{SD'}{SD}=\frac{2}{3}\)

Áp dụng công thức Simson về tỉ lệ thể tích cho chóp S.ABC:

\(\frac{V_{S.ABM}}{V_{S.ABC}}=\frac{SB}{SB}.\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SC}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{V_{S.ABM}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}\)

Tương tự: \(\frac{V_{S.AMD'}}{V_{S.ACD}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SC}.\frac{SD'}{SD}=1.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{V_{S.AMD'}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\frac{V_{SABM}}{V_{S.ABCD}}+\frac{V_{S.AMD'}}{V_{S.ABCD}}=\frac{V_{S.ABMD'}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 10 2020 lúc 17:34

3.

\(SA=2MA\Rightarrow d\left(M;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(S;\left(ABCD\right)\right)\)

\(MC=2NC\Rightarrow d\left(N;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(M;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(S;\left(ABCD\right)\right)\)

\(\Rightarrow V_{N.ABCD}=\frac{1}{4}V_{S.ABCD}=\frac{1}{4}V\)

4.

Khối A'.AB'C' cũng chính là khối A.A'B'C'

Ta có: \(V_{ABC.A'B'C'}=d\left(A;\left(A'B'C'\right)\right).S_{A'B'C'}=1\)

\(\Rightarrow V_{A.A'B'C'}=\frac{1}{3}d\left(A;\left(A'B'C'\right)\right).S_{A'B'C'}=\frac{1}{3}.1=\frac{1}{3}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 10 2020 lúc 17:40

Trong tam giác OBC, kẻ đường cao OH \(\Rightarrow BC\perp\left(AOH\right)\)

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\Rightarrow OH=\frac{OB.OC}{\sqrt{OB^2+OC^2}}=\frac{6a}{\sqrt{13}}\)

Trong tam giác vuông AOH, từ O kẻ \(OK\perp AH\Rightarrow OK\perp\left(ABC\right)\)

\(\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{OH^2}+\frac{1}{OA^2}\Rightarrow OK=\frac{OA.OH}{\sqrt{OA^2+OH^2}}=\frac{3a\sqrt{14}}{7}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 10 2020 lúc 12:50

Đặt đọ dài cạnh đáy là \(\sqrt{x}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{x\sqrt{3}}{4}\) với \(0< x< 4a^2\)

\(SA=\sqrt{4a^2-x}\)

\(\Rightarrow V=\frac{1}{3}.\sqrt{4a^2-x}.\frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{12}.x\sqrt{4a^2-x}\)

\(V=\frac{\sqrt{3}}{12}\sqrt{-x^3+4a^2.x^2}\)

\(V_{max}\) khi \(f\left(x\right)=-x^3+4a^2x^2\) đạt max với \(x\in\left(0;4a^2\right)\)

\(f'\left(x\right)=-3x^2+8a^2x=0\Leftrightarrow3x=8a^2\Rightarrow x=\frac{8a^2}{3}\)

Vậy \(V_{max}=\frac{\sqrt{3}}{12}.\frac{8a^2}{3}.\sqrt{4a^2-\frac{8a^2}{3}}=\frac{4a^3}{9}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 10 2020 lúc 17:44

\(AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\)

\(\Rightarrow V=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}AB.BC=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN