Bài 3: Hàm số liên tục

Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||AB\\MN=\dfrac{1}{2}AB=a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(AB;DM\right)}=\widehat{\left(MN;DM\right)}=\widehat{NMD}\)

\(DM=DN=\dfrac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh 2a)

Định lý hàm cos cho tam giác NMD:

\(cos\widehat{NMD}=\dfrac{MN^2+DM^2-DN^2}{2MN.DM}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

\(u_1=1=\sqrt{2.0+1}\)

\(u_2=\sqrt{2+u_1^2}=\sqrt{3}=\sqrt{2.1+1}\)

\(u_3=\sqrt{2+u_2^2}=\sqrt{5}=\sqrt{2.2+1}\)

\(\Rightarrow u_n=\sqrt{2\left(n-1\right)+1}=\sqrt{2n-1}\)

\(\Rightarrow v_n=\sqrt{\dfrac{2n-1}{n}}=\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}\)

\(\Rightarrow\lim\left(v_n\right)=\lim\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}=\sqrt{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+ax-2}-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{ax-2}{\sqrt{x^2+ax-2}+x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{a-\dfrac{2}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{a}{x}-\dfrac{2}{x^2}}+1}=\dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}=1\Rightarrow a=2\in\left(1;3\right)\)

lỗi

l ôi lôi ngã lỗi rùi

Hàm \(f\left(x\right)\) viết lại: \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}\text{ khi }x>2\\\dfrac{x^2-3x+2}{2-x}\text{ khi }x< 2\\a,x=2\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(x-1\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2-3x+2}{2-x}=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\left(1-x\right)=-1\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\Rightarrow\) hàm luôn  luôn gián đoạn tại \(x=2\)

Hay ko tồn tại a thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A

\(\lim\dfrac{3.2^{n+1}-2.3^n}{4+3^n}=\lim\dfrac{6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-2}{4.\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1}=\dfrac{0-2}{0+1}=-2\)

Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-2\right)\left(x+3\right)-2x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(2\right)=-5< 0\)

\(f\left(-3\right)=5>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(-3\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng \(\left(-3;2\right)\)

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

xét tính liên tục của hs 
ai giúp mình với 

Xét tính liên tục tại \(x=0\) hay xét trên toàn miền R em nhỉ?

\(sinx=0\Rightarrow x=k\pi\)

\(\Rightarrow\) Hàm liên tục tại mọi điểm thỏa mãn \(x\ne k\pi\)

Hàm gián đoạn tại mọi điểm \(\left\{{}\begin{matrix}x=k\pi\\k\ne0\end{matrix}\right.\)

Xét tại \(x=0\):

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\sqrt[3]{cosx}}{sin^2x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-cosx}{sin^2x\left(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2sin^2\dfrac{x}{2}}{4sin^2\dfrac{x}{2}cos^2\dfrac{x}{2}\left(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{2cos^2\dfrac{x}{2}\left(1+\sqrt[3]{cosx}+\sqrt[3]{cos^2x}\right)}=\dfrac{1}{2.1.\left(1+1+1\right)}=\dfrac{1}{6}\ne f\left(0\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm gián đoạn tại \(x=0\)

Cả 4 đáp án đều sai

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2x-1}{x^3+1}=\dfrac{2.2-1}{2^3+1}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)