Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
8 tháng 11 2020 lúc 22:58

\(y'=1-\sqrt{2}sinx=0\Leftrightarrow sinx=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)

\(y\left(0\right)=\sqrt{2}\) ; \(y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+1\) ; \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+1\)

\(y_{min}=y\left(0\right)=\sqrt{2}\)

Bình luận (0)
Na Cà Rốt
27 tháng 10 2020 lúc 21:25

nè ảnh chất lượng hơi thấp vs chữ tui hơi xấu thông cảm

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
20 tháng 9 2020 lúc 18:18

a.

\(y'=\frac{-1-m^2}{\left(x-1\right)^2}< 0\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

\(\Rightarrow\) Không tồn tại GTLN của hàm trên \(\left[1;3\right]\) (chắc bạn ghi sai đề bài vì trên [1;3] có điểm đặc biệt \(x=1\) khiến hàm ko xác định đồng thời hàm nghịch biến nên \(y_{max}=+\infty\) trên đoạn này)

b.

\(y\ge3\) ; \(\forall x\in\left[-3;0\right]\Leftrightarrow\min\limits_{\left[-3;0\right]}y\ge3\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^4-2x^2+1-m\)

\(f'\left(x\right)=4x^3-4x=0\Rightarrow x=\left\{-1;0;1\right\}\)

\(f\left(-3\right)=64-m\) ; \(f\left(-1\right)=m\) ; \(f\left(0\right)=1-m\)

Nếu \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm thuộc \(\left[-3;0\right]\Leftrightarrow0\le m\le64\) thì \(\min\limits_{\left[-3;0\right]}y=0\) (ktm)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>64\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(\min\limits_{\left[-3;0\right]}=min\left\{\left|64-m\right|;\left|m\right|\right\}\)

- Nếu \(y_{min}=\left|64-m\right|\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|m\right|\ge\left|64-m\right|\\\left|64-m\right|\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge32\\\left[{}\begin{matrix}m\ge67\\m\le61\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge67\)

- Nếu \(y_{min}=\left|m\right|\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|64-m\right|\ge\left|m\right|\\\left|m\right|\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le32\\\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-3\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\ge67\\m\le-3\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
17 tháng 8 2020 lúc 21:52

\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-4y+4=0\)

\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-4y+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3y^2+10y-7\ge0\Rightarrow1\le y\le\frac{7}{3}\)

\(y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0\)

\(\Delta=\left(x-4\right)^2-4\left(x^2-3x+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3x^2+4x\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{4}{3}\)

Mặt khác ta có:

\(P=3x^3-3y^3+20x^2+5y^2+39x+2\left(-x^2-y^2+4y+3x-4\right)\)

\(P=\left(3x^3+18x^2+45x\right)+\left(-3y^3+3y^2+8y-8\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^3+18x^2+45x\) trên \(\left[0;\frac{4}{3}\right]\)

\(f'\left(x\right)=9x^2+36x+45>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{892}{9}\)

Xét \(f\left(y\right)=-3y^3+3y^2+8y-8\) trên \(\left[1;\frac{7}{3}\right]\)

\(f'\left(y\right)=-9y^2+6y+8=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}\)

\(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\) ; \(f\left(\frac{7}{3}\right)=-\frac{100}{9}\)

\(\Rightarrow f\left(y\right)_{max}=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\Rightarrow f\left(y\right)\le\frac{8}{9}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{892}{9}+\frac{8}{9}=100\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
17 tháng 8 2020 lúc 21:57

\(P=\sqrt{\left(1-x\right)^2+y^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+y^2}+2-y\)

\(P\ge\sqrt{\left(1-x+x+1\right)^2+\left(y+y\right)^2}+2-y\)

\(P\ge\sqrt{4y^2+4}+2-y=2\sqrt{y^2+1}+2-y\)

Xét hàm \(f\left(y\right)=2\sqrt{y^2+1}-y+2\)

\(f'\left(y\right)=\frac{2y}{\sqrt{y^2+1}}-1=0\Leftrightarrow2y=\sqrt{y^2+1}\) (\(y\ge0\))

\(\Leftrightarrow3y^2=1\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Từ BBT ta thấy \(f\left(y\right)_{min}=f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=2+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P_{min}=2+\sqrt{3}\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN