Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Đường kính khối cầu cuối cùng : 100cm

Chiều cao tối đa mô hình đạt được:

\(S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{100}{1-\dfrac{1}{2}}=200\left(cm\right)\)

Do M là trung điểm DD', N là trung điểm A'D' \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác DD'A'

\(\Rightarrow MN||A'D\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa MN và BD bằng góc giữa A'D và BD

\(\Rightarrow\) Góc giữa MN và BD là góc \(\widehat{A'DB}\)

Đặt cạnh lập phương là a, ta có \(A'D=A'B=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow\) tam giác A'DB đều

\(\Rightarrow\widehat{A'DB}=60^0\)

Do tam giác SAB cân và I là trung điểm AB \(\Rightarrow SI\perp AB\)

Mặt khác AB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (SAB) và (ABCD)

\(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow SI\perp AD\) (1)

Lại có \(AD\perp AB\) (2) (giả thiết)

(1);(2)\(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(AD\in\left(SAD\right)\Rightarrow\left(SAD\right)\perp\left(SAB\right)\)

b.

Theo cmt ta có \(\left\{{}\begin{matrix}SI\perp\left(ABCD\right)\\SI\in\left(SID\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SID\right)\perp\left(ABCD\right)\)

c.

\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{CK}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DK}\right)=\left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(-\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}AD^2+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{1}{2}AB^2-\dfrac{1}{2}AD^2\) (do AB vuông góc AD nên \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\))

\(=0\) (ABCD là hình vuông nên AB=AD)

\(\Rightarrow ID\perp CK\)

Mà \(SI\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp CK\)

\(\Rightarrow CK\perp\left(SID\right)\)

\(\Rightarrow\left(SKC\right)\perp\left(SID\right)\)

Tham khảo:

CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA

9.

Gọi D là trung điểm BC \(\Rightarrow AD\perp BC\) (do tam giác ABC đều)

Mặt khác \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAD\right)\)

Mà BC là giao tuyến (SAB) và (SBC)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (ABC) và (SBC)

\(AD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=30^0\)

b.

Câu b nhìn không rõ, đề yêu cầu tính diện tích tam giác SBC đúng không nhỉ?

Từ câu a ta có \(BC\perp\left(SAD\right)\Rightarrow SD\perp BC\)

Pitago tam giác SAD: \(SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\)

\(\Rightarrow S_{\Delta SBC}=\dfrac{1}{2}SD.BC=\dfrac{a^2}{2}\)

Hình vẽ bài 9:

8c.

Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) AD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa SD và (ABCD)

\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\)

Tương tự ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx50^046'\)

Hình vẽ bài 8:

(SAB) và (SAC)

Chắc là chóp SABC vì điểm D không thấy liên quan gì (có hay không cũng không ảnh hưởng bài toán)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

b.

Do \(E\in SC\Rightarrow AE\in\left(SAC\right)\)

Mà \(BC\Rightarrow\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AE\)

Lại có \(AE\perp SC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)

Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song DE và SC

Gọi O là giao điểm AC, BD \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC

\(\Rightarrow\) OM là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow OM||SC\Rightarrow O\in\left(P\right)\)

Trong mp (SBD), gọi F là trung điểm BE \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác BDE

\(\Rightarrow OF||DE\Rightarrow F\in\left(P\right)\)

Trong mp (SBC), qua F kẻ đường thẳng song song SC cắt BC tại G

\(\Rightarrow G\in\left(P\right)\)

Trong mp (ABCD), nối GO kéo dài cắt AD tại H

\(\Rightarrow H\in\left(P\right)\)

\(\Rightarrow\) Thiết diện của (P) và chóp là tứ giác MFGH (và tứ giác này không có điều gì đặc biệt)