Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

\(y'=cos\sqrt{2+x^2}.\left(\sqrt{2+x^2}\right)'=cos\sqrt{2+x^2}.\dfrac{2x}{2\sqrt{2+x^2}}\)

\(=\dfrac{x}{\sqrt{2+x^2}}.cos\sqrt{2+x^2}\)

\(\Rightarrow m=1;n=0\)

\(\Rightarrow m+n=1\)

2.

\(y'=\left(cot2x\right)'-\left(\dfrac{1}{3}tan3x\right)'=-\dfrac{1}{sin^22x}.\left(2x\right)'-\dfrac{1}{3cos^23x}.\left(3x\right)'\)

\(=\dfrac{-2}{sin^22x}-\dfrac{1}{cos^23x}\)

\(f'\left(x\right)=2cos2x-4\left(1-2m\right)sin2x-2m\)

Phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow2cos2x-4\left(1-2m\right)sin2x=2m\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow cos2x-2\left(1-2m\right)sin2x=m\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(1^2+4\left(1-2m\right)^2\ge m^2\)

\(\Leftrightarrow15m^2-16m+5\ge0\)

\(\Leftrightarrow15\left(m-\dfrac{8}{15}\right)^2+\dfrac{11}{15}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(f'\left(x\right)=0\) có nghiệm với mọi m

1. 

a)y'=2sinx.cosx-3sin3x=sin2x-3sin3x

b)y'=\(\dfrac{\left(cosx\right)'\left(2+sin2x\right)-cosx\left(2+sin2x\right)'}{\left(2+sin2x\right)^2}\)=\(\dfrac{-2sinx-sinxsin2x-2cosxcos2x}{\left(2+sin2x\right)^2}\)

2. y'=-2sin2x.sin3x+cos2x.3cos3x

y'=\(\dfrac{-2sinx}{2\sqrt{3+2cosx}}\)

a.

\(y'=\left(x^2\right)'+\left(4sinx\right)'=2x+4cosx\)

b.

\(y'=\left(2x^3\right)'-\left(sinx\right)'+\left(2\right)'=6x^2-cosx\)

c.

\(y'=\left(5sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)'=5cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right).\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)'=5cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(f'\left(x\right)=\left(2cox\right)'=2.\left(-sinx\right)=-2sinx\\ f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-2.sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-1\)

\(y=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)=\cos2x\Rightarrow y'=\left(\cos2x\right)'=-2\sin2x\)

Chắc đề là tính đạo hàm của \(y=cot^3\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)\)?

Nếu vậy:

\(y'=3cot^2\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right).\left[cot\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)\right]'=3cot^2\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right).\left(-\dfrac{1}{sin^2\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)}\right).\dfrac{3\pi}{2}\)

\(=-\dfrac{9\pi}{2}.\dfrac{cos^2\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)}{sin^4\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)}\)