Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có cái này: \(\vec{HG}=\dfrac{2}{3}\vec{HO}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{3}-3=\dfrac{2}{3}\left(x_O-3\right)\\\dfrac{8}{3}-2=\dfrac{2}{3}\left(y_O-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_O=1\\y_O=3\end{matrix}\right.\Rightarrow O=\left(1;3\right)\)

\(d\left(O;BC\right)=\dfrac{\left|1+2.3-2\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

Phương trình trung trực BC: \(2x-y+1=0\)

\(\Rightarrow\) Trung điểm M của BC có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+2y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(0;1\right)\)

Lại có \(\vec{AG}=\dfrac{2}{3}\vec{AM}\Rightarrow A=\left(5;6\right)\)

\(\Rightarrow R=OA=5\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=25\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;4\right)\) bán kính \(R=5\)

Điểm A thuộc (C) nên tiếp tuyến d qua A vuông góc IA

\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng d nhận (3;4) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(3\left(x+1\right)+4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x+4y+3=0\)

PT đường tròn (x - 3)² + (y + 1)² = 4

Vậy đường tròn (C) có tâm I (3 ; -1) và bán kính bằng 2

 \(\overrightarrow{IA}=\left(-2;0\right)\)⇒ IA = 2 ⇒ A thuộc đường tròn

\(\overrightarrow{IB}=\left(-2;4\right)\) ⇒ IB > 2 ⇒ B nằm ngoài đường tròn

CHI THAY cac toa do diem vao la xong

Gọi tâm đường tròn có tọa độ \(I\left(5-3a;a\right)\)

Do (C) tiếp xúc d nên \(\Rightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Rightarrow\frac{\left|5-3a-a-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|4-4a\right|=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4-4a=4\\4-4a=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(5;0\right)\\I\left(-1;2\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-5\right)^2+y^2=8\\\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=8\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(3;1\right)\)

Phương trình trung trực d của AB có dạng:

\(1\left(x-3\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-4=0\)

Gọi I là tâm đường tròn \(\Rightarrow I\in d\Rightarrow I\left(a;4-a\right)\)

Do (C) tiếp xúc Oy \(\Rightarrow R=\left|x_I\right|=\left|a\right|\)

Mặt khác \(\overrightarrow{AI}=\left(a-2;4-a\right)\Rightarrow R^2=AI^2=\left(a-2\right)^2+\left(4-a\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(4-a\right)^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-12a+20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=10\\a=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}I\left(10;-6\right)\\R=10\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}I\left(2;2\right)\\R=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-10\right)^2+\left(y+6\right)^2=100\\\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

tọa độ tâm \(I\left(3;0\right)\), bán kính R=3

Thanks ạ

gt->\(A\left(\frac{9}{4};-\frac{1}{4}\right)\)

Giả sử B(b;2-b); C(c;\(\frac{3-2c}{6}\))

Có:\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\)

\(\overrightarrow{AB}\left(b-\frac{9}{4};2-b+\frac{1}{4}\right)\rightarrow\overrightarrow{AB}\left(b-\frac{9}{4};\frac{5}{4}-b\right)\)

\(\overrightarrow{AC}\left(c-\frac{9}{4};\frac{3-2c}{6}+\frac{1}{4}\right)\rightarrow\overrightarrow{AC}\left(c-\frac{9}{4};\frac{3}{4}-\frac{1}{3}c\right)\)

\(\overrightarrow{AM}\left(-1-\frac{9}{4};1+\frac{9}{4}\right)\rightarrow\overrightarrow{AM}\left(-\frac{13}{4};\frac{13}{4}\right)\)

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b-\frac{9}{4}+c-\frac{9}{4}=2.\frac{-13}{4}\\\frac{5}{4}-b+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}c=2.\frac{13}{4}\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=-2\\-b-\frac{1}{3}c=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-\frac{23}{4}\\c=\frac{15}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(B\left(-\frac{23}{4};\frac{31}{4}\right);C\left(\frac{15}{4};-\frac{3}{4}\right)\)