Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Thanks ạ

tọa độ tâm \(I\left(3;0\right)\), bán kính R=3

nó cũng có thể giao tại 1 điểm hoặc ko giao mà bạn

Bán kính đường tròn:

\(R=\sqrt{\left(m+1\right)^2+4+1}=\sqrt{\left(m+1\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow R_{min}=\sqrt{5}\) khi \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

Gọi M là trung điểm OA \(\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

\(\overrightarrow{AO}=\left(1;-1\right)\Rightarrow\) trung trực của OA nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình trung trực d' của OA:

\(1\left(x+\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Đường tròn qua O và A có tâm thuộc d', gọi tâm đường tròn là \(J\left(a;a+1\right)\)

Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ J đến d:

\(R=d\left(J;d\right)=\frac{\left|a-\left(a+1\right)+1-\sqrt{2}\right|}{\sqrt{1+1}}=1\)

\(\overrightarrow{OJ}=\left(a;a+1\right)\Rightarrow OJ=\sqrt{a^2+\left(a+1\right)^2}=\sqrt{2a^2+2a+1}\)

Mà \(OJ=R\Rightarrow2a^2+2a+1=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(0;1\right)\\K\left(-1;0\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IK}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow IK=\sqrt{2}\)

Dễ dàng nhận thấy AC là đường kính của đường tròn và AC vuông góc d1; AB vuông góc d2

Gọi tọa độ A có dạng \(A\left(a;-a\sqrt{3}\right)\) với \(a>0\)

Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc d2 \(\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-a\right)+\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x+\sqrt{3}y+2a=0\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{3}y+2a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\Rightarrow AB=a\sqrt{3}\)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d1 \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;-\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x-a\right)-\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt{3}y-4a=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3}y-4a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-2a;-2a\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)\) \(\Rightarrow BC=3a\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.3a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-1\right)\\C\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3};-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(-\frac{\sqrt{3}}{6};-\frac{3}{2}\right)\\R=\frac{AC}{2}=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=1\)

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;0\right)\) bán kính \(R=3\)

Do \(MN=6=2R\Rightarrow\) đường thẳng d đi qua tâm I

\(\Rightarrow\) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng IA

\(\overrightarrow{IA}=\left(3;3\right)=3\left(1;1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng IA nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình IA:

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Câu 2:

Đường tròn tâm \(I\left(2;4\right)\) bán kính \(R=2\)

Do tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 45 độ hoặc 135 độ

\(\Rightarrow\) Đường tiếp tuyến có hệ số góc \(k=\pm1\)

Gọi tiếp tuyến có dạng \(y=kx+b\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y+b=0\\x+y-b=0\end{matrix}\right.\)

Do d là tiếp tuyến nên \(d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{\left|2-4+b\right|}{\sqrt{1+1}}=2\\\frac{\left|2+4-b\right|}{\sqrt{1+1}}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|b+2\right|=2\sqrt{2}\\\left|b-6\right|=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-2+2\sqrt{2}\\b=-2-2\sqrt{2}\\b=6+2\sqrt{2}\\b=6-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d:\left[{}\begin{matrix}x-y-2+2\sqrt{2}=0\\x-y-2-2\sqrt{2}=0\\x+y-6-2\sqrt{2}=0\\x+y-6+2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(x-7y+10=0\Rightarrow x=7y-10\)

Thay vào pt đường tròn:

\(\left(7y-10\right)^2+y^2-2\left(7y-10\right)+4y-20=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-3y+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-3\\y=2\Rightarrow x=4\end{matrix}\right.\)

Gọi \(B\left(-3;1\right);C\left(4;2\right)\)

Phương trình trung trực AB có dạng:

\(4\left(x+1\right)-3\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow8x-6y+5=0\)

Phương trình trung trực BC có dạng:

\(7\left(x-\frac{1}{2}\right)+1\left(y-\frac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow7x+y-5=0\)

Tọa độ tâm I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}8x-6y+5=0\\7x+y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\)

\(\Rightarrow R^2=IA^2=\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-2-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{25}{2}\)

Phương trình: \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)

Quy trình làm như vậy, còn các bước tính toán bạn kiểm tra lại

Đường tròn (C) có tâm \(I\left(-3;3\right)\) bán kính \(R=5\)

Gọi pt d có dạng \(y=kx+b\)

Do d tạo với Ox 1 góc 45 độ nên:

\(k=tan45^0=1\Rightarrow y=x+b\Leftrightarrow x-y+b=0\)

d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|-3-3+b\right|}{\sqrt{2}}=5\Leftrightarrow\left|b-6\right|=5\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=6+5\sqrt{2}\\b=6-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d:\left[{}\begin{matrix}x-y+6+2\sqrt{5}=0\\x-y+6-2\sqrt{5}=0\end{matrix}\right.\)

Câu hỏi?

\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-4\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(3;-4\right)\)

Đường thẳng \(d_1\) qua B và vuông góc AB nhận \(\left(3;4\right)\) là 1 vtpt

Phương trình \(d_1\) :

\(3\left(x+3\right)+4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x+4y+9=0\)

Đường thẳng \(d_2\) qua C vuông góc AC nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

Phương trình \(d_2\)

\(3\left(x-3\right)-4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x-4y-9=0\)

Tâm I đường tròn (C) là giao của d1 và d2, tọa độ I là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y+9=0\\3x-4y-9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\frac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

\(R=IB=IC=\sqrt{3^2+\left(\frac{9}{4}\right)^2}=\frac{15}{4}\)

Phương trình (C):

\(x^2+\left(y+\frac{9}{4}\right)^2=\frac{225}{16}\)