Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1.

a, \(\left(C\right)x^2+y^2-6x-2y+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(C\right)\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\) Tâm \(I=\left(3;1\right)\), bán kính \(R=2\)

b, Tiếp tuyến đi qua A có dạng: \(\left(\Delta\right)ax+by-5a-7b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|3a+b-5a-7b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|a+3b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow6ab+8b^2=0\)

\(\Leftrightarrow2b\left(3a+4b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\3a+4b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta_1:x=5\\\Delta_2:4x-3y+1=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\Delta_1:x=5\)

Tiếp điểm có tọa độ là nghiệm hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x=5\\x^2+y^2-6x-2y+6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y^2-2y+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(5;1\right)\)

TH2: \(\Delta_2:4x-3y+1=0\)

Tiếp điểm có tọa độ là nghiệm hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y+1=0\\x^2+y^2-6x-2y+6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{5}\\y=\dfrac{11}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{11}{5}\right)\)

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1:x=5\\\Delta_2:4x-3y+1=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ tiếp điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(5;1\right)\\\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{11}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

a, Phương trình đường thẳng AB: \(\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-4}{6}\Leftrightarrow3x-y-5=0\)

Trung điểm I của AB có tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1+3}{2}=2\\y_I=\dfrac{4-2}{2}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left(2;1\right)\)

Phương trình trung trực của AB: \(x+3y-5=0\)

Giả sử \(O=\left(5-3m;m\right)\) là tâm đường tròn

Ta có: \(OA=5\Leftrightarrow\left(3m-4\right)^2+\left(m+2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-4\right)^2+\left(m+2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow2m^2-4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}O=\left(\dfrac{4-3\sqrt{6}}{2};\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\right)\\O=\left(\dfrac{4+3\sqrt{6}}{2};\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

TH1: \(O=\left(\dfrac{4-3\sqrt{6}}{2};\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\right)\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-\dfrac{4-3\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\right)^2=25\)

TH2: \(O=\left(\dfrac{4+3\sqrt{6}}{2};\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right)\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-\dfrac{4+3\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right)^2=25\)

Kết luận: Phương trình đường tròn:

\(\left(x-\dfrac{4-3\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\right)^2=25\) hoặc \(\left(x-\dfrac{4+3\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\right)^2=25\)

b, Phương trình đường thẳng AC: \(x+y+1=0\)

Phương trình đường thẳng OA: \(x-y-3=0\)

Giả sử \(O=\left(m;m-3\right)\) là tâm đường tròn

Ta có: \(OA=OB\Leftrightarrow\left(1-m\right)^2+\left(1-m\right)^2=\left(3-m\right)^2+\left(7-m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\)

\(\Rightarrow O=\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Bán kính: \(R=OA=\sqrt{\left(1-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(-2-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

Bán kính đường tròn: \(R=\sqrt{10}\)

\(O=\left(2;0\right)\) là tâm đường tròn

\(\Rightarrow OM=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{5}< R=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow M\) nằm trong đường tròn

Kết luận: Số tiếp tuyến kẻ được từ M đến đường tròn (C) là 0.

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-4\right)\) bán kính \(R=4\)

Tiếp tuyến d' song song d nên có dạng: \(5x+12y+c=0\) (với \(c\ne-6\))

d' tiếp xúc (C) khi và chỉ khi:

\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|5.1-12.4+c\right|}{\sqrt{5^2+12^2}}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|c-43\right|=52\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=95\\c=-9\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}5x+12y+95=0\\5x+12y-9=0\end{matrix}\right.\)

làm giúp tớ với tó đang cần gấp

chỉ những câu đánh dấu thôi ạ

1.

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-6y+9=0\)

2.

Bán kính: \(R=IA=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(0-4\right)^2}=5\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x-8y-8=0\)

3.

Bán kính: \(R=d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|2+3+1\right|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=18\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-6y-5=0\)

Là em cần hỗ trợ bài 4 hả?

Câu 1:

$x^2+y^2+2(m+1)x-4(m-2)y-4m-1=0$

$\Leftrightarrow x^2+2(m+1)x+(m+1)^2+y^2-4(m-2)y+4(m-2)^2=(m+1)^2+4(m-2)^2+4m+1$

$\Leftrightarrow (x+m+1)^2+(y-2m+4)^2=5m^2-10m+18$

Đường tròn có bán kính $R$ thỏa mãn $R^2=5m^2-10m+18$
 $R^2=5m^2-10m+18=5(m-1)^2+13\geq 13$

$\Rightarrow R\geq \sqrt{13}$. Vậy $R_{\min}=\sqrt{13}$ khi $m-1=0$

$\Leftrightarrow m=1$

Đáp án B.

Câu 2:

$(C_1): (x-2)^2+(y+3)^2=16=R_1^2$ tâm $O(2;-3)$

$(C_2): (x+1)^2+(y-2)^2=4=R_2^2$ tâm $W(-1;2)$

Gọi $(\Delta): ax+by+c=0$ là đường thẳng tiếp xúc với cả 2 đường tròn

Khi đó: 

\(\left\{\begin{matrix} d(\Delta, O)=R_1=4\\ d(\Delta, W)=R_2=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{|2a-3b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4\\ \frac{|-a+2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\end{matrix}\right.(*)\)

Nếu $b=0$ thì dễ dàng suy ra $a=0$; c=0$ (vô lý)

Nếu $b\neq 0$ thì đặt $\frac{a}{b}=m; \frac{c}{b}=n$ thì:

\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{|2m-3+n|}{\sqrt{m^2+1}}=4\\ \frac{|-m+2+n|}{\sqrt{m^2+1}}=2\end{matrix}\right.\) . Từ đây tính được $m=3\pm 2\sqrt{1,2}$

$\Rightarrow n=\frac{25\mp 8\sqrt{30}}{5}$

PTĐT tiếp xúc với 2 đường tròn:

$y=(-3-2\sqrt{1,2})x-\frac{25+8\sqrt{30}}{5}$

$y=(-3+2\sqrt{1,2})x-\frac{25-8\sqrt{30}}{5}$

Lời giải:

$(C): x^2+y^2+2x-4y+1=0$

$\Leftrightarrow (C): (x+1)^2+(y-2)^2=2^2=4$

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1;2)$

\(d((d), I)=\frac{|2.-1+3.2-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{13}}{13}< (R=2)\)

Do đó giữa $(d)$ và $(C)$ có 2 giao điểm. Đáp án C.

Gọi giao điểm là A, thay tọa độ tham số d1 vào d2:

\(t-2\left(2-t\right)+m=0\Leftrightarrow3t+m-4=0\Rightarrow t=\dfrac{-m+4}{3}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{-m+4}{3};\dfrac{m+2}{3}\right)\)

\(\Rightarrow OA=\sqrt{\left(\dfrac{-m+4}{3}\right)^2+\left(\dfrac{m+2}{3}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

b. Bạn không đưa 4 đáp án thì không ai trả lời được câu hỏi này. Có vô số đường thẳng cách đều 2 điểm, chia làm 2 loại: các đường thẳng song song với AB và các đường thẳng đi qua trung điểm của AB

c. Tương tự câu b, do 3 điểm ABC thẳng hàng nên có vô số đường thẳng thỏa mãn, là các đường thẳng song song với AB

a.

\(R=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|3-5.\left(-2\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-5\right)^2}}=\dfrac{14}{\sqrt{26}}\)

b.

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|4sina+4\left(2-sina\right)\right|}{\sqrt{cos^2a+sin^2a}}=8\)