Bài 2: Mặt cầu

Gọi \(I\) là tâm của đáy \(ABCD\) (giao điểm của \(AC\) và \(BD\))

a) Vì đây là hính chóp đều nên có ngay \(SI\) là đường cao kẻ từ S

\(SI=\sqrt{SA^2-AI^2}=\sqrt{SA^2-\frac{AB^2}{2}}=a\sqrt{2}\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}\)

b) Thấy ngay \(IA=IB=IC=ID=IS=a\sqrt{2}\)

suy ra tâm mc ngoại tiếp là \(I\) và \(R=a\sqrt{2}\)

c) bạn dùng công thức sau để tính bán kính mặt cầu nội tiếp

\(r=\frac{3V_{S.ABCD}}{S_{ABCD}+4S_{SAB}}=\frac{\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}}{4a^2+4.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{3}.a\)

Lời giải:

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống mặt phẳng $(ABC)$

Ta có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp AB\\ SA\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow AB\perp (SHA)\rightarrow AB\perp HA\)

Tương tự \(BC\perp HC\). Kết hợp với \(ABC\) vuông cân tại $B$ suy ra \(ABCH\) là hình vuông

Có \(AH\parallel (SBC)\Rightarrow d(A,(SBC))=d(H,(SBC))\)

Kẻ \(HT\perp SC\). Có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp BC\\ HC\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SHC)\Rightarrow BC\perp HT\)

Do đó \(HT\perp (SBC)\Rightarrow d(H,(SBC))=HT=\sqrt{\frac{SH^2.HC^2}{SH^2+HC^2}}=\sqrt{\frac{SH^2.AB^2}{SH^2+AB^2}}=\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{6}a\)

Từ trung điểm $O$ của $AC$ dựng trục vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Trên trục đó ta lấy điểm $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

\(IS^2=IA^2=IH^2\Leftrightarrow (\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HS})^2=IO^2+OH^2\)

\(\Leftrightarrow HS^2+2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{HS}=0\)

Do \(\overrightarrow {SH}\parallel \overrightarrow {IO}\Rightarrow \overrightarrow {IO}=k\overrightarrow{SH}\). Thay vào PT trên có $k=\frac{1}{2}$

\(\Rightarrow IO=\frac{\sqrt{6}a}{2}\Rightarrow IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\sqrt{3}a\)

\(\Rightarrow S_{\text{mặt cầu}}=4\pi R^2=12a^2\pi\)

Giải

đàu tiên ta tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABE (EA=EB)

R=\( \frac{AE.EB.AB}{4S}\) =\(\frac{5}{8}\) .Gọi I là tâm đường trong ngoại tiếp→AI=\(\frac{5}{8}\) .Gọi N là trung điểm SA

Trong mp(SAI) từ I kẻ đt d vuông góc vs đáy.Từ N kẻ đt vuông góc SA cắt d tại O

suy ra O là tâm mặt cầu cần tìm

dựa vào tam giác vuông OAI suy ra bán kính mặt cầu =\(\sqrt{OI^2 +AI^2}\)=\(\frac{\sqrt{41}}{8}\)

suy ra diện tích mặt cầu=4π\(R^2\) suy ra C

theo mình là đáp án C

gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.Do đáy là tam giác đều nên I là trọng tâm

suy ra IA =\( \frac{a\sqrt{3}}{2}\) (giả sử hình lăng trụ là ABC\(A^, B^,C^,\) có cạnh là a)

trong mp(SAI),từ I kẻ đường thẳng d vuông góc vs đáy .Gọi N là trung điểm SA,từ N kẻ đt vuông góc vs SA,cắt d tại O.

O là tâm mặt cầu cần tìm.R=OA=\(\sqrt{OI^2 +AI^2}\)=a

a)

Viết pt đường thẳng d dạng:

\(d=\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)

Gọi \(H\left(1+2h;-1+h;1+2h\right)\) là hình chiếu vuông góc của I trên d

Ta có:

\(\overrightarrow{IH}\perp\overrightarrow{u_d}\Leftrightarrow\left(2h;-1+h;-2+2h\right)\left(2;1;2\right)=0\\ \Leftrightarrow9h-5=0\Leftrightarrow h=\frac{5}{9}\)

\(\overrightarrow{IH}=\left(\frac{10}{9};-\frac{4}{9};-\frac{8}{9}\right)\Rightarrow IH=\frac{2\sqrt{5}}{3}\)

b)

\(\Delta IAB\) vuông tại I và có đường cao IH, lại có IA=IB=R (R là bán kính mặt cầu (S))

Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I \(\Rightarrow IA=IH\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\)

\(\Rightarrow R=\frac{2\sqrt{10}}{3}\)

Vậy \(\left(S\right):\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-3\right)^2=\frac{40}{9}\)

(Mình tính toán có thể sai, bạn tham khảo tạm cách làm nhé)

21. d[O,(P)]max => OA vuông góc (P) => n(P) =Vecto OA=(2; -1; 1)

=> (P):2x - y +z - 6 = 0. ĐA: D

22. D(x; 0; 0). AD = BC <=> (x-3)² +16 = 25 => x = 0 v x = 6. ĐA: C

34. ĐA: A.

37. M --->Ox: A(3; 0; 0)

Oy: B(0; 1; 0)

Oz: C(0; 0;2)

Pt mp: x\3 + y\1+ z\2 = 1 <==> 2x + 6y + 3z - 6 = 0. ĐA: B

Chọn C