Bài 2: Giới hạn của hàm số

09 Lê Quang HIếu
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Anh
Xem chi tiết
Minh Lệ
25 tháng 2 2022 lúc 18:18

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x}-x\right)\\ =\lim\limits_{x→-\infty}\dfrac{x^3+x-x^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+x}\right)^2+x\sqrt[3]{x^3+x}+x^2}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)^2+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{0}{1^2+1+1}=0\)

Bình luận (0)
Minh Lệ
25 tháng 2 2022 lúc 18:16

2.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x}-x\right)\\ =\lim\limits_{x→-\infty}\dfrac{x^3+x-x^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+x}\right)^2+x\sqrt[3]{x^3+x}+x^2}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)^2+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+1}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{0}{1^2+1+1}=0\)

3. 

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4x^2+x+3}+2x+1\right)\\ =\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x\left(\sqrt{4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+2+\dfrac{1}{x}\right)\)

Mà \(\lim\limits_{x→-\infty}x=-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+2+\dfrac{1}{x}\right)=\sqrt{4}+2=4\) > 0

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4x^2+x+3}+2x+1\right)=-\infty\)

4.

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4-x^3+11}{2x-7}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{11}{x^4}\right)}{x\left(2-\dfrac{7}{x}\right)}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(\dfrac{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{11}{x^4}}{2-\dfrac{7}{x}}\right)\)

Mà \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3=+\infty\)

\(\lim\limits_{x→+\infty}\left(\dfrac{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{11}{x^4}}{2-\dfrac{7}{x}}\right)=\dfrac{1-0+0}{2-0}=\dfrac{1}{2}\)> 0

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^4-x^3+11}{2x-7}=+\infty\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
25 tháng 2 2022 lúc 13:12

Lời giải:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{|x|+\sqrt{x^2+10}}{2x+3}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{\frac{|x|}{x}-\sqrt{1+\frac{10}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}}\)

\(=\frac{-1-1}{2}=-1\)

Bình luận (2)
Trọng
Xem chi tiết
Minh Hiếu
23 tháng 2 2022 lúc 21:06

Tham khảo:

 

Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x=1 nên biểu thức tử nhận x=1 làm nghiệm, hay 1+a+b=0.

Áp dụng vào giả thiết, được

\(^{lim}_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+ax-1-a}{x^2-1}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow^{lim}_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1+a\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow^{lim}_{x\rightarrow1}\dfrac{x+1+a}{x+1}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2+a}{2}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-3\)

\(\Rightarrow b=2\)

 

Bình luận (0)
 Minh Hiếu đã xóa
Akai Haruma
23 tháng 2 2022 lúc 21:23

Lời giải:
Vì $x^2-1\to 0$ khi $x\to 1$ nên để giới hạn đã cho hữu hạn thì $x^2+ax+b$ nhận $x=1$ là nghiệm 

$\Leftrightarrow 1+a+b=0$

$\Leftrightarrow b=-a-1$

Khi đó:
\(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+ax+b}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+ax-a-1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1+a)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x+a+1}{x+1}\)

\(=\frac{a+2}{2}=\frac{-1}{2}\Rightarrow a+2=-1\Rightarrow a=-3\)

$b=-a-1=3-1=2$

Bình luận (0)
xin gam
Xem chi tiết
Hồng Phúc
23 tháng 2 2022 lúc 2:20

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-x}=\dfrac{\sqrt{0+1}-1}{\sqrt[3]{0+1}-0}=0\)

Bình luận (0)
Đỗ Tuệ Lâm
22 tháng 2 2022 lúc 20:34

b,

\(\overset{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{4x^6-5x^5+x}{\left(1-x\right)^2}=\overset{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{\left(4x^5-4x^2-x^4+1\right)x}{\left(1-x\right)^2}\)

\(=lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\left[4x^4\left(x-1\right)-\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\right]x}{\left(1-x\right)^2}\)

\(=lim_{x->1}\dfrac{x\left(x-1\right)\left[4x^4-\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\right]}{\left(x-1\right)^2}=lim_{x->1}\dfrac{x\left(4x^4-x^3-x^2-x-1\right)}{x-1}\)

\(=lim_{x->1}\dfrac{x\left(x-1\right)\left(4x^3+3x^2+2x+1\right)}{x-1}\)

\(=limx(4x^3+3x^2+2x+1)=4+3+2+1=10\)

Bình luận (0)