Bài 14. Hình thoi và hình vuông

a: Xét ΔABD có AB=AD và \(\widehat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>\(BD=AB=8\left(cm\right)\)

ABCD là hình thoi

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{BAD}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

Xét ΔBAC có \(cosABC=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(\dfrac{8^2+8^2-AC^2}{2\cdot8\cdot8}=cos120=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(128-AC^2=-64\)

=>\(AC^2=128+64=192\)

=>\(AC=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b: ABCD là hình thoi

=>DB là phân giác của góc ADC

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}=60^0\)

ΔBED vuông tại E

=>\(\widehat{EBD}+\widehat{EDB}=90^0\)

=>\(\widehat{EBD}=90^0-60^0=30^0\)

ΔBFD vuông tại F

=>\(\widehat{FBD}+\widehat{FDB}=90^0\)

=>\(\widehat{FBD}=90^0-60^0=30^0\)

\(\widehat{EBF}=\widehat{EBD}+\widehat{FBD}=30^0+30^0=60^0\)

Xét ΔBED vuông tại E và ΔBFD vuông tại F có

BD chung

\(\widehat{EDB}=\widehat{FDB}\)

Do đó: ΔBED=ΔBFD

=>BE=BF

Xét ΔBEF có BE=BF và \(\widehat{EBF}=60^0\)

nên ΔBEF đều

c: ΔABD đều

mà BE là đường cao

nên \(BE=AD\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

ΔBEF đều

=>\(BE=BF=EF=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)