Bài 1: Vectơ trong không gian

a. theo đề ta có ngay kết luận rằng: \(AG\perp CD\)  vì ABCD là hình chóp tam giác đều.

b. Gọi N là trug điểm AD , ta có:

MN // AC \(\Rightarrow\left(AC,BM\right)=\widehat{BMN}\)

Xét \(\Delta BMN\)  có 

\(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ( vì BM là trug tuyến trog ΔBCD đều)

\(BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ( vì Bn là trug tuyến trog ΔABD đều)

\(MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}\)  , vì MN là đường tb trog Δ ACD 

\(cos\widehat{BMN}=\dfrac{MB^2+MN^2-BN^2}{2MB.MN}=\dfrac{MN}{2MB}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

Vậy ta được : \(cos\left(AC,BM\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

Còn cách giải khác nữa , mà nó dài nen t lm cách này cho nhanh có gì k hỉu thì hỏi .

a, Tứ diện ABCD đều cạnh a.

Đặt \(\vec{AB}=\vec{x};\vec{AC}=\vec{y};\vec{AD}=z\)

\(\Rightarrow\vec{x}.\vec{y}=\vec{y}.\vec{z}=\vec{z}.\vec{x}=\dfrac{a^2}{2}\)

\(\Rightarrow\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\vec{z}-\vec{y}\)

\(\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BG}\)

\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{BD}+\vec{BC}\right)\)

\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{AD}-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{x}+\dfrac{1}{3}\vec{y}+\dfrac{1}{3}\vec{z}\)

\(\Rightarrow\vec{CD}.\vec{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{z}-\vec{y}\right)\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{z}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)-\dfrac{1}{3}\vec{y}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+a^2\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+a^2+\dfrac{a^2}{2}\right)\)

\(=0\)

\(\Rightarrow AG\perp CD\)

b, \(\vec{AC}.\vec{BM}=\vec{AC}.\dfrac{1}{2}\left(\vec{BC}+\vec{BD}\right)\)

\(=\vec{AC}.\dfrac{1}{2}\left(\vec{AC}-\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AB}\right)\)

\(=\vec{y}.\dfrac{1}{2}\left(\vec{y}-2\vec{x}+\vec{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a^2-a^2+\dfrac{a^2}{2}\right)\)

\(=\dfrac{a^2}{4}\)

\(\Rightarrow cos\left(\vec{AC};\vec{BM}\right)=\dfrac{\vec{AC}.\vec{BM}}{AC.BM}=\dfrac{\dfrac{a^2}{4}}{\dfrac{a.a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow cos\left(AC;BM\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)

Theo Talet: \(\dfrac{A'K}{IK}=\dfrac{B'I}{A'D'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A'K=\dfrac{2}{3}A'I\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{A'K}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{A'I}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{B'I}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{A'B'}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}\right)\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'A'}+\overrightarrow{A'K}=\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A'K}\)

\(=\overrightarrow{c}-\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\)

\(=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{a}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Gọi D là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất trọng tâm: \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}\right|=\left|-2\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{2}{3}AD=AG\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp M là mặt cầu tâm G bán kính AG với G là trọng tâm tam giác ABC

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \(\Rightarrow ADD'A'\) và \(BDD'B'\) là hình bình hành

\(\Rightarrow\) I và K lần lượt là trung điểm BD' và AD'

\(\Rightarrow\) IK là đường trung bình tam giác D'AB

\(\Rightarrow\overrightarrow{KI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Mặt khác BCC'B' là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}\)

Do đó:

\(2\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC};\overrightarrow{KI};\overrightarrow{B'C'}\) đồng phẳng

Đề bài câu này sai, M thuộc SA thì không thể có chuyện \(\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MA}\) được, khi đó M, A, B thẳng hàng đồng nghĩa S, A, B thẳng hàng (vô lý do SABC là hình chóp)

Chắc đề phải là M thuộc AB mới đúng

Đề bài câu này bị sai, do ABC.A'B'C' là lăng trụ nên \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}\)

Do đó không thể biểu biễn các vecto còn lại theo 3 vecto này

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp \(\Rightarrow AA'C'C\) là hình bình hành

\(\Rightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC'}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\)

b. Câu này đề sai, đề đúng phải là \(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{AC}\)

Do hình là hình hộp \(\Rightarrow\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{C'C}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{D'D}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{AC'}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{AC}\)

ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow O\) là trung điểm BD

M là trung điểm SD \(\Rightarrow\) OM là đường trung bình tam giác SBD

\(\Rightarrow\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BS}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SB}\)

Đặt \(OA=OB=2OC=2a\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=a\sqrt{5}\) \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Qua B kẻ đường thẳng song song OM cắt OC kéo dài tại D

\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác BCD \(\Rightarrow BD=2OM=a\sqrt{5}\)

\(OM||BD\Rightarrow\left(OM;AB\right)=\left(BD;AB\right)=\widehat{ABD}\)

\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2a\sqrt{2}\)

\(AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{OA^2+OC^2}=a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{ABD}=\dfrac{AB^2+BD^2-AD^2}{2AB.BD}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)