Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Bạn có thể tham khảo cách làm tại đây:https://anhsangsoiduong.vn/cau-hoi/toan-lop-7-cho-ham-so-y-f-mu-2-5-a-tinh-f-2-f-1-3-b-tim-de-f-5-349/

(-2x^2+(m+2)x-3m+1)'=-4x+(m+2)

(x-1)'=1

\(y'=\dfrac{-4x+m+2+2x^2-\left(m+2\right)x+3m-1}{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{2x^2+x\left(-m-6\right)+4m-1}{\left(x-1\right)^2}\)

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì

2x^2+x(-m-6)+4m-1<0 với mọi x

=>\(m\in\varnothing\)

a: y'=3x^2+6x-3(m^2+1)

Để hàm số đồng biến trên (1;2) thì y'>0 với mọi x thuộc (1;2)

=>3x^2+6x-3(m^2+1)>0

=>3(m^2+1)<3x^2+6x

=>m^2+1<x^2+2x

=>m^2<x^2+2x-1

Đặt x^2+2x-1=0

=>x=-1+căn 2 hoặc x=-1-căn 2

=>m^2<căn 2-1

=>-căn căn 2-1<m<căn căn 2+1

b: y'=-3x^2+6x+(m-1)

y nghịch biến trên (-1;+vô cực)

=>y'<0 với mọi x thuộc (-1;+vô cực)

=>-3x^2+6x+m-1<0

=>m<3x^2-6x+1

=>3x^2-6x+1>m

Đặt 3x^2-6x+1=0

=>x=(3+căn 6)/3 hoặc x=(3-căn 6)/3

=>m>(3+căn 6)/3

Lời giải:

a. Để hàm đồng biến trên $(1;2)$ thì:

$y'=3x^2+6x-3(m^2-1)>0$ với mọi $x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow x^2+2x-m^2+1>0, \forall x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow (x+1)^2> m^2, \forall x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow m^2< min (x+1)^2, \forall x\in (1;2)$

$\Leftrightarrow m^2< 4$

$\Leftrightarrow -2< m < 2$

b. 

Để hàm số nghịch biến trên $(-1;+\infty)$ thì:

$y'=-3x^2+6x+(m-1)<0, \forall x\in (-1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m< 3x^2-6x+1, \forall x\in (-1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m< min (3x^2-6x+1), \forall x\in (-1;+\infty)$

Ta thấy: $3x^2-6x+1=3(x-1)^2-2\geq -2$ với mọi $x\in (-1;+\infty)$

$\Rightarrow m< -2$

a: TH1: x>=3 hoặc x<1

y=x^2-4x+3+4x+3=x^2+6

y'=2x

Nếu x>=3 hoặc 0<=x<1 thì hàm số đồng biến

Nếu x<0 thì hàm số nghịch biến

TH2: 1<x<3

y'=-x^2+4x-3+4x+3=-x^2+8x

y'=-2x+8

y'>=0 =>x<=4

=>Hàm số nghịch biến

y'<0 =>x>=4(loại)
b: Th1: x>=3 hoặc x<=-1

y=x^2-2x-3

y'=2x-2

Nếu x>=3 thì hàm  số đồng biến

Nếu x<=-1 thì hàm số nghịch biến

TH2: -1<x<3

y=-x^2+2x+3

y'=-2x+2

Nếu 1<x<3 thì hàm số nghịch biến

Nếu -1<x<=1 thì hàm số đồng biến

ĐKXĐ: x^2-1>0

=x>1 hoặc x<-1

\(y'=\dfrac{\left(2x-3\right)'\sqrt{x^2-1}-\dfrac{\left(x^2-1\right)'}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot\left(2x-3\right)}{x^2-1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x^2-1}-\dfrac{x\left(2x-3\right)}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}\)

\(=\dfrac{2x^2-2-2x^2+3x}{\sqrt{x^2-1}\cdot\left(x^2-1\right)}=\dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-1}\left(x^2-1\right)}\)

x>1

=>3x-2>0

=>y'>0

=>HS đồng biến

x<-1

=>3x-2<0

=>HS nghịch biến

đặt cosx=t

x∈ (0;\(\dfrac{\pi}{2}\)) => t∈(0,1)

bài toán trở thành tìm m để y= \(\dfrac{2t-1}{t-m}\)nghịch biến trên (0,1)

hs NB <=> y' <0 <=> -2m+1<0 => m > 1/2 (*)

xét đk: t-m≠0 => m≠t => m∉ (0,1) => \(\begin{matrix}m\le0\\m\ge1\end{matrix}\) (**)

kết hợp (*)(**) \(\begin{matrix}m\le0\\m\ge1\end{matrix}\)