Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

a.

\(y'=4x^3+8x=4x\left(x^2+2\right)=0\Rightarrow x=0\)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-\infty;0\right)\)

b.

\(y'=3x^2+6x+3=3\left(x+1\right)^2\ge0\) ; \(\forall x\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên R

ĐKXĐ: \(x\in\left[-2;2\right]\)

\(y'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=0\Rightarrow x=0\)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên \(\left(-2;0\right)\) và nghịch biến trên \(\left(0;2\right)\)

Bạn cần câu nào nhỉ?

f.

TXĐ: \(x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\)

\(y'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}\)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên \([3;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty;-3]\)

g.

\(y'=4x^3-12x^2=4x^2\left(x-3\right)=0\Rightarrow x=3\) (khi tìm khoảng đơn điệu hay cực trị của hàm số thì chỉ cần quan tâm nghiệm bội lẻ, không cần quan tâm nghiệm bội chẵn)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-\infty;3\right)\)

h.

\(y'=\dfrac{x^2+x+1-\left(x-2\right)\left(2x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\dfrac{-x^2+4x+3}{\left(x^2+x+1\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow-x^2+4x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2-\sqrt{7}\\x=2+\sqrt{7}\end{matrix}\right.\)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên \(\left(2-\sqrt{7};2+\sqrt{7}\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2-\sqrt{7}\right)\) và \(\left(2+\sqrt{7};+\infty\right)\)

\(y'=\left\{{}\begin{matrix}1\text{ khi }x< 0\\2x-2\text{ khi }x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y'>0\)  khi \(\left[{}\begin{matrix}x< 0\\x>1\end{matrix}\right.\) ; \(y'< 0\) khi \(0< x< 1\)

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(0;1\right)\)

ĐKXĐ: \(x\ne\left\{-3;1\right\}\)

\(y'=\dfrac{\left(2x+2\right)\left(x^2+2x-3\right)-\left(2x+2\right)\left(x^2+2x+5\right)}{\left(x^2+2x-3\right)^2}=\dfrac{-16\left(x+1\right)}{\left(x^2+2x-3\right)^2}\)

\(y'=0\Rightarrow x=-1\)

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-3\right)\) và \(\left(-3;-1\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-1;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

\(f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)=\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\) (chỉ quan tâm nghiệm bội lẻ)

\(g'\left(x\right)=\left(1-2x\right)f'\left(x-x^2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\f'\left(x-x^2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(f'\left(x-x^2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-x^2=1\\x-x^2=2\end{matrix}\right.\) (đều vô nghiệm)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến khi \(x< \dfrac{1}{2}\) và nghịch biến khi \(x>\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C\) đúng (do \(\left(-\infty;-1\right)\subset\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(TXĐ:D=R\)

\(y=x^{3}-3mx^{2}-9m^{2}x\)

\(y'=3x^{2}-6mx-9m^{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(y'=3(x+m)(x-3m)=0\)

\(\left[\begin{array}{} x=-m\\ x=3m \end{array} \right.\)

\(y'<0\) \(\forall\)\(x\) \(\in\)\((0,1)\).Ta xét các trường hợp

\(TH1:-m\)\(\le\)\(0\)\(<1\)\(\le\)\(3m\)

\(\Leftrightarrow\)\(m \)\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\)

\(TH2:3m\)\(\le\)\(0\)<\(1\)\(\le\)\(-m\)

\(\Leftrightarrow\)\(m\)\(\le\)\(-1\)

Vậy \(m\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\) hoặc \(m\)\(\le\)\(-1\)

\(\Leftrightarrow\)\(m \)\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\)