Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số - Hỏi đáp

Câu 2:

ĐK: $m\not\in (-1;+\infty)$
$y=\frac{mx+4}{x+m}\Rightarrow y'=\frac{m^2-4}{(x+m)^2}$

Để $y$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} m\not\in (-1;+\infty)\\ y'=\frac{m^2-4}{(x+m)^2}\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-1;+\infty)\\ -2\leq m\leq 2\end{matrix}\right.\)

Với $m$ nguyên ta suy ra $m=-1; -2$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Câu 1:

Để $y$ đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ thì:

$y'=3x^2-2(2m-1)x+(2-m)\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Điều này xảy ra khi: $\Delta'=(2m-1)^2-3(2-m)\leq 0$

$\Leftrightarrow 4m^2-m-5\leq 0$

$\Leftrightarrow (4m-5)(m+1)\leq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq m\leq \frac{5}{4}$

\(y'=2\left(x^2-x\right)\left(2x-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

BBT:

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(\frac{1}{2};1\right)\)

\(y'=-3x^2+6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Hàm đồng biến trên \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

Gọi f(x)=x²+2x-3

\(f'\left(x\right)=2x+2\) \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\:\Leftrightarrow2x+2=0\:\Leftrightarrow x=-1\)

Vẽ bảng biến thiên giúp mình nghen. Từ \(\left(-\infty;-1\right)\)hàm số nghịch biến, từ \(\left(-1;+\infty\right)\) hàm số đồng biến.

Mà f(x)=0 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Suy ra sẽ có 3 cực trị tại x=-3;x=1 và x=-1

Bạn viết đề bài đầy đủ và chính xác ra đi được ko bạn?

a) Tập xác định : D = R { 1 }. > 0, ∀x 1.

Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-^∞ ; 1), (1 ; +^∞).

b) Tập xác định : D = R { 1 }. < 0, ∀x 1.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-^∞ ; 1), (1 ; +^∞).

c) Tập xác định : D = (-^∞ ; -4] ∪ [5 ; +^∞).

∀x ∈ (-^∞ ; -4] ∪ [5 ; +^∞).

Với x ∈ (-∞ ; -4) thì y’ < 0; với x ∈ (5 ; +^∞) thì y’ > 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-^∞ ; -4) và đồng biến trên khoảng (5 ; +^∞).

d) Tập xác định : D = R { -3 ; 3 }. < 0, ∀x ±3.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-^∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +^∞).

\(y=\frac{ax+b}{x+1}\Rightarrow y'=\frac{a-b}{x+1}\)

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi \(a>b\)

\(\Rightarrow0< b< a\le20\)

Ứng với mỗi giá trị của b, có \(20-b\) giá trị a tương ứng thỏa mãn

Mà có 19 giá trị của b\(=\left\{1;2;3;...;19\right\}\)

\(\Rightarrow\) Có \(\left(20-1\right)+\left(20-2\right)+...+\left(20-19\right)\) cặp số nguyên

Hay \(20.19-\left(1+2+...+19\right)=190\) cặp

\(y'=\left(m^2-2m\right)x^2-2mx+1\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;0\right)\) thì y'>0 với \(\forall x\in\)\(\left(-\infty;0\right)\)

TH1: \(m^2-2m=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=2\end{matrix}\right.\)

Thay m=0 vào y' ta có: y'=1>0 \(\forall x\in\)\(\left(-\infty;0\right)\) (TM)

Thay m=2 vào y' ta có: y'=-4x+1>0\(\Leftrightarrow1>4x\Leftrightarrow\frac{1}{4}>x\) (TM)

TH2:\(m^2-2m\ne0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Để y'>0 \(\forall x\in\)\(\left(-\infty;0\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 0\\x>2\end{matrix}\right.\\4m^2-4\left(m^2-2m\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy m=0, m=2 và m<0 thì hs đồng biến trên\(\left(-\infty;0\right)\)

Hàm \(y=cos2x\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\) nên ta chỉ cần xét trên khoảng \(x\in\left[0;\pi\right]\)

\(y'=-2sin2x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\)

\(y'< 0\) với \(x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) ; \(y'>0\) với \(x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)\)

Hàm liên tục trên R

\(y=\left\{{}\begin{matrix}-2x^2-6x-6\left(x\le-\frac{7}{2}\right)\\2x^2+4x-6\left(-\frac{7}{2}\le x\le1\right)\\-2x^2-6x-6\left(x\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

Trên miền \(\left(-\infty;-\frac{7}{2}\right)\) có \(y'=-4x-6>0\) hàm đồng biến

Trên miền \(\left(-\frac{7}{2};1\right)\) có \(y'=4x+4=0\Rightarrow x=-1\)

Trên miền \(\left(1;+\infty\right)\) có \(y'=-4x-6< 0\) hàm nghịch biến

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\frac{7^-}{2}}f'\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow-\frac{7}{2}^+}f'\left(x\right)\) nên hàm ko có đạo hàm tại \(x=-\frac{7}{2}\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\) là 1 cực trị

Tương tự ta cũng có \(x=1\) là 1 cực trị

BBT:

Nhìn vào đây bạn sẽ kết luận được chiều biến thiên của hàm số

Lời giải:

$y'=f'(x)=x^2+2(m-2)x-(m+1)$

$\Delta'=(m-2)^2+(m+1)=m^2-3m+5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên $f'(x)=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Ta có bảng BT của $f(x)$ (trường hợp $a=\frac{1}{3}>0$:

Để $f(x)$ nghịch biến trên $(-5;1)$ và $(-2;4)$ thì $x_1\leq -5$ và $x_2\geq 4$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+5)(x_2+5)\leq 0\\ (x_1-4)(x_2-4)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1x_2+5(x_1+x_2)+25\leq 0\\ x_1x_2-4(x_1+x_2)+16\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -(m+1)+10(2-m)+25\leq 0\\ -(m+1)-8(2-m)+16\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -11m+44\leq 0\\ 7m-1\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4\leq m\leq \frac{1}{7}\) (vô lý)

\(y'=f\left(x\right)=x^2+2\left(m-2\right)x-m-1\)

Để hàm nghịch biến trên các khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(x_1\le-5< 4\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-5\right)\le0\\f\left(4\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}24-10\left(m-2\right)-m\le0\\15+8\left(m-2\right)-m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le\frac{1}{7}\end{matrix}\right.\) không tồn tại m thỏa mãn