Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

\(y'=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)\)

\(y'\ge0\) ; \(\forall x\ge2\)

\(\Leftrightarrow mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)\ge0\) ; \(\forall x\ge2\)

\(\Leftrightarrow mx^2-2mx+3m\ge6-x\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2-2x+3\right)\ge6-x\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{6-x}{x^2-2x+3}\)

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{x\ge2}\dfrac{6-x}{x^2-2x+3}=\dfrac{4}{3}\)

Vậy \(m\ge\dfrac{4}{3}\)

\(\begin{array}{l} \text{Xét:}\\ VP=(x+y)^2-4xy\\ =x^2+2xy+y^2-4xy\\ =x^2+(2xy-4xy)+y^2\\ =x^2-2xy+y^2\\ =(x-y)^2=VT\ \text{(đpcm)}\end{array}\)

Ta có: \(\left(x+y\right)^2-4xy\)

\(=x^2+2xy+y^2-4xy\)

\(=x^2-2xy+y^2\)

\(=\left(x-y\right)^2\)(đpcm)

a.

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{-2\right\}\)

Sự biến thiên: \(y'=\dfrac{5}{\left(x+2\right)^2}>0\) ; \(\forall x\ne-2\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x+1}{x+2}=\infty\Rightarrow x=-2\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{3x+1}{x+2}=3\Rightarrow y=3\) là tiệm cận ngang

Bảng biến thiên:

b.

\(y'\left(-1\right)=\dfrac{5}{\left(-1+2\right)^2}=5\) ; \(y\left(-1\right)=\dfrac{3.\left(-1\right)+1}{-1+2}=-2\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=5\left(x+1\right)-2\Leftrightarrow y=5x+3\)

\(y'=x^2+2mx-m\)

Hàm đồng biến trên R \(\Leftrightarrow y'\ge0\) ;\(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2+m\le0\)

\(\Rightarrow-1\le m\le0\)

\(\Rightarrow m_{min}=-1\)

\(y'=3x^2-10x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hàm đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{3}\)

Với giá trị nào của m thì hàm số y=x³+3x²-3mx-1 đồng biến trên khoảng:

C, m∈R

\(y'=3x^2+6x-3m\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Leftrightarrow3x^2+6x-3m\ge0\) ;\(\forall x< 0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-1\ge m\)

\(\Rightarrow m\le-1\)

Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận A: 1 B: 2 C: 3 D: 4

Giải thích

Nên có 4 đường tiệm cận

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{2x+1}{x^2-4}=\infty\Rightarrow x=2\) là TCĐ

\(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\frac{2x+1}{x^2-4}=\infty\Rightarrow x=-2\) là TCĐ

\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x+1}{x^2-4}=0\Rightarrow y=0\) là TCN

Có 3 tiệm cận