Xét các số phức z thỏa mãn |z - 4 -3i| = \(\sqrt{5}\). Tiính P= a+ b khi | z +1 -3i| + | z-1+i| đạt giá trị lớn nhất
Xét các số phức z thỏa mãn |z - 4 -3i| = \(\sqrt{5}\). Tiính P= a+ b khi | z +1 -3i| + | z-1+i| đạt giá trị lớn nhất
đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in R;i^2=-1\)
ta có : \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=8x+6x-20\)
đặc \(A=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2}\)
áp dụng bunhiacopxki ta có :
\(A\le\sqrt{2\left[\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\right]}\)
\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{2\left(2a^2+2b^2-4b+12\right)}=\sqrt{2\left(16a+12b-40-4b+12\right)}\)
\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{2\left[16\left(a-4\right)+8\left(b-3\right)\right]+120}\)
áp dụng bunhiacopxki lần nữa ta có :
\(A\le\sqrt{2\left(16^2+8^2\right)\left[\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2\right]+120}\)
\(\Leftrightarrow A\le2\sqrt{830}\) dâu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\\\dfrac{a-4}{16}=\dfrac{b-3}{8}\\\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow P=a+b=10\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow P=a+b=4\)
vậy \(P=10;P=4\)
Gọi s là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z ngang =1 và / z+căn3+i/ =m tìm số phần tử của s
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\)
Từ \(z\overline{z}=1\Rightarrow a^2+b^2=1\)
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R=1\)
Lại có:
\(|z+\sqrt{3}+i|=m(m\geq 0)\)
\(\Leftrightarrow |(a+\sqrt{3})+i(b+1)|=m\)
\(\Leftrightarrow (a+\sqrt{3})^2+(b+1)^2=m^2\)
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \(I(-\sqrt{3}; -1)\) bán kính \(R'=m\)
Để số phức $z$ tồn tại duy nhất thì \((O); (I) \) phải tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài.
Nếu \((O); (I)\) tiếp xúc ngoài:
\(\Rightarrow OI=R+R'\Leftrightarrow 2=1+m\Leftrightarrow m=1\)
Nếu \((O),(I)\) tiếp xúc trong.
TH1: \((O)\) nằm trong $(I)$
\(OI+R=R'\Leftrightarrow 2+1=m\Leftrightarrow m=3\)
TH2: \((I)\) nằm trong $(O)$
\(OI+R'=R\Leftrightarrow 2+m=1\Leftrightarrow m=-1\) (loại vì \(m\geq 0\) )
Do đó \(S=\left\{1;3\right\}\) hay số phần tử của S là 2.
Cho |z| = m2 + 2m + 5 với m là tham số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3-4i)z - 2i là một đường tròn. Tính bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi\)
Từ \(|z|=m^2+2m+5\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}=m^2+2m+5\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=(m^2+2m+5)^2\)
\(w=(3-4i)z-2i=(3-4i)(a+bi)-2i\)
Thực hiện khai triển: \(w=(3a+4b)+i(3b-4a-2)\)
Bán kính đường tròn chứa tập hợp biểu diễn số phức $w$ là:
\(R=\sqrt{(3a+4b)^2+(3b-4a-2)^2}\)
\(=\sqrt{25(a^2+b^2)+16a-12b+4}\)
Ta có:
\(25(a^2+b^2)+16a-12b+4=\frac{45}{2}(a^2+b^2)+(a\sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{8\sqrt{10}}{5})^2+(b\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{6\sqrt{10}}{5})^2-36\)
\(\geq \frac{45}{2}(a^2+b^2)-36\)
\(\Rightarrow R\geq \sqrt{\frac{45}{2}(m^2+2m+5)^2-36}=\sqrt{\frac{45}{2}[(m+1)^2+4]^2-36}\)
\(\geq \sqrt{\frac{45}{2}.4^2-36}=\sqrt{324}\)
Vậy \(R_{\min}=\sqrt{324}=18\)
cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thõa mãn \(_{\left|z\right|-2\overline{z}=-7+3i+z}\)tính modun của số phức w= 1-z+\(^{z_{ }^2}\)
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi\)
Ta có: \(|z|-2\overline{z}=-7+3i+z\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}-2(a-bi)=-7+3i+a+bi\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a^2+b^2}-2a)+2bi=(-7+a)+i(b+3)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a^2+b^2}-2a=-7+a(1)\\ 2b=b+3(2)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) suy ra \(b=3\)
Thay vào (1): \(\sqrt{a^2+9}=3a-7\)
\(\Rightarrow (3a-7)^2=a^2+9\)
\(\Leftrightarrow 9a^2+49-42a=a^2+9\)
\(\Leftrightarrow 8a^2-42a+40=0\)
\(\Leftrightarrow a=4\) (chọn) hoặc \(a=\frac{5}{4}\) (loại do \(a\in\mathbb{Z}\) )
Vậy số phức \(z=4+3i\)
\(\Rightarrow w=1-(4+3i)+(4+3i)^2=4+21i\)
\(\Rightarrow |w|=\sqrt{4^2+21^2}=\sqrt{457}\)
1/ I=\(\int\limits^1_0\)\(\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}\)
2/J=\(\int\limits^1_0\)\(xln\left(2x+1\right)dx\)
3/K=\(\int\limits^3_2ln\left(x^3-3x+2\right)dx\)
4/I=\(\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\)\(\frac{tan^4xdx}{cos2x}\)
5/J=\(\int\limits^3_1\)\(\frac{3+lnx}{\left(x+1\right)^2}dx\)
6/K=\(\int\limits^1_0\)\(\frac{\left(2+xe^x\right)}{x^2+2x+1}dx\)
Câu 1)
Ta có \(I=\int ^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}=\int ^{1}_{0}\frac{dx}{4-(x-1)^2}\).
Đặt \(x-1=2\cos t\Rightarrow \sqrt{4-(x-1)^2}=\sqrt{4-4\cos^2t}=2|\sin t|\)
Khi đó:
\(I=\int ^{\frac{2\pi}{3}}_{\frac{\pi}{2}}\frac{d(2\cos t+1)}{2\sin t}=\int ^{\frac{2\pi}{3}}_{\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin tdt}{2\sin t}=\int ^{\frac{2\pi}{3}}_{\frac{\pi}{2}}dt=\left.\begin{matrix} \frac{2\pi}{3}\\ \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right|t=\frac{\pi}{6}\)
Câu 3)
\(K=\int ^{3}_{2}\ln (x^3-3x+2)dx=\int ^{3}_{2}\ln [(x+2)(x-1)^2]dx\)
\(=\int ^{3}_{2}\ln (x+2)d(x+2)+2\int ^{3}_{2}\ln (x-1)d(x-1)\)
Xét \(\int \ln tdt\): Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=t\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \ln t dt=t\ln t-t\)
\(\Rightarrow K=\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|(x+2)[\ln (x+2)-1]+2\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|(x-1)[\ln (x-1)-1]\)
\(=5\ln 5-4\ln 4-1+4\ln 2-2=5\ln 5-4\ln 2-3\)
Bài 2)
\(J=\int ^{1}_{0}x\ln (2x+1)dx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln (2x+1)\\ dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2dx}{2x+1}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(J=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^2\ln (2x+1)}{2}-\int ^{1}_{0}\frac{x^2}{2x+1}dx\)\(=\frac{\ln 3}{2}-\frac{1}{4}\int ^{1}_{0}(2x-1+\frac{1}{2x+1})dx\)
\(=\frac{\ln 3}{2}-\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^2-x}{4}-\frac{1}{8}\int ^{1}_{0}\frac{d(2x+1)}{2x+1}=\frac{\ln 3}{2}-\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\ln (2x+1)}{8}\)
\(=\frac{\ln 3}{2}-\frac{\ln 3}{8}=\frac{3\ln 3}{8}\)
Câu 5)
\(J=\underbrace{\int ^{3}_{1}\frac{3dx}{(x+1)^2}}_{A}+\underbrace{\int ^{3}_{1}\frac{\ln xdx}{(x+1)^2}}_{B}\)
Ta có: \(A=\int ^{3}_{1}\frac{3d(x+1)}{(x+1)^2}=\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|\frac{-3}{x+1}=\frac{3}{4}\)
\(B=\int ^{3}_{1}\frac{\ln xdx}{(x+1)^2}=\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|\frac{-\ln x}{x+1}+\int ^{3}_{1}\frac{dx}{x(x+1)}=\frac{-\ln 3}{4}+\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|(\ln |x|-\ln|x+1|)\)
\(B=\frac{-\ln 3}{4}+(\ln 3-\ln 4)+\ln 2=\frac{3}{4}\ln 3-\ln 2\)