Bài 1: Quy tắc đếm

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2R.sinA\\b=2R.sinB\\c=2R.sinC\end{matrix}\right.\)

\(a+c=2b\Rightarrow2R.sinA+2R.sinC=4R.sinB\)

\(\Rightarrow sinA+sinC=2sinB\)

\(\Rightarrow2sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)=2sinB\)

\(\Rightarrow cos\left(\dfrac{B}{2}\right)cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{B}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)

\(\Rightarrow cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{B}{2}\right)=2cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\)

\(\Rightarrow cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)+sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)-2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow3sin\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)=cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{A}{2}\right)tan\left(\dfrac{C}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\)

Bình phương của 1 số chia 3 luôn dư 1 hoặc 0

\(\Rightarrow\) Hiệu bình phương 2 số ghi trên thẻ chia hết cho 3 khi cả 2 số cùng chia hết cho 3 hoặc cùng ko chia hết cho 3

Từ 1 đến 50 có \(\dfrac{48-3}{3}+1=16\) số chia hết cho 3 và \(50-16=34\) số ko chia hết cho 3

\(\Rightarrow C_{16}^2+C_{34}^2\) cách chọn thỏa mãn

Xác suất: \(\dfrac{C_{16}^2+C_{34}^2}{C_{50}^2}\)

Không gian mẫu: \(C_{18}^8\)

- Nếu Toán hết: chọn 7 cuốn toán có \(C_7^7=1\) cách, chọn cuốn còn lại có 11 cách

- Nếu Lý hết: chọn 6 lý có 1 cách, chọn 2 cuốn còn lại có \(C_{12}^2\) cách

- Nếu Hóa hết: chọn 5 hóa có 1 cách, chọn 3 cuốn còn lại có \(C_{13}^3\) cách

\(\Rightarrow C_{18}^8-\left(11+C_{12}^2+C_{13}^3\right)\) cách chọn sao cho còn lại đủ 3 môn

Xác suất: \(\dfrac{C_{18}^8-\left(11+C_{12}^2+C_{13}^3\right)}{C_{18}^8}\)

Xếp 5 nam đứng đầu: \(5!\) cách

Xếp 6 nữ vào các vị trí sau: \(6!\) cách

\(\Rightarrow5!.6!\) cách xếp

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\), với \(a \ne 0 \), 

+ Xét TH: a = 7

  Chọn vị trí của số 9 trong 3 số b,c,d có: 3 cách chọn

  Chọn 2 số khác 7 và 9 rồi xếp vào 2 vị trí còn lại có: \(2.C_8^2=56 \) cách chọn

⇒ Có: 3.56 = 168 số với a = 7

+ Tương tự, với TH: a = 9: có 168 số thỏa mãn

+ Xét TH: \(a\ne7,9 \) 

  Chọn a có: 7 cách gồm {1,2,...,6,8}

  Chọn 2 vị trí trong b,c,d đặt 7 và 9 rồi xếp vào có: \(2.C_3^2=6 \) cách chọn 

  Chọn số còn lại để xếp vào vị trí cuối có: 7 cách gồm {0,1,2,...,6,8} \ {a}

⇒ Có: 7.6.7 = 294 số thỏa mãn.

Vậy có tổng cộng: 168+168+294=630 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

TH1: số 9 hoặc số 7 đứng đầu

=>Có \(A^2_4\cdot C^2_8=336\left(cách\right)\)

TH2: Số 9 và số 7 đều ko đứng đầu

=>Có \(A^2_4\cdot7\cdot7=588\left(cách\right)\)

=>Có 924 cách

3:

Ta sẽ chia M ra làm 3 nhóm

Nhóm 1: \(A=\left\{0;3;6\right\}\)

Nhóm 2: \(B=\left\{1;4;7\right\}\)

Nhóm 3: \(C=\left\{2;5;8\right\}\)

TH1: 1 số A,1 số B, 1 số C

*Nếu số ở A chọn là số 0 thì sẽ có 3*3*2*2*1=36 cách

*Nếu số A chọn khác 0 thì sẽ là 2*3*3*3!=108 cách

=>Có 108+36=144 cách

TH2: 3 số A

=>Có 2*2*1=4 số

TH3: 3 số B

=>Có 3!=6 số

TH4: 3 số C

=>Có 3!=6 số

=>Có 144+4+6+6=148+12=160 số

Các số có dạng abcd( a<6 và khác 0; a,b,c,d<10)

Từ 7 chữ số: 1 ;2 ;3 ;4; 5; 6; 7

Có 5 cách chọn a( a<6)

Có 7 cách chọn b

Có 7 cách chọn c

có 3 cách chọn d( d =2;4;6)

Mỗi cách ta được 1 số

=> Có số số thỏa mãn đề bài là:

5.7.7.3=735( số)

Đ/s: 735 số

#YH

\(\overline{abcd}\)

a có 1 cách chọn

d có 5 cách chọn

b có 8 cách chọn

c có 7 cách chọn

=>Có 5*8*7=280 cách

Coi số 7 và số 8 như một số. Ta sẽ chọn ra một số \(\overline{abcd}\) mà a,b,c,d được lấy từ tập gồm {1;2;3;4;5;6;{7;8}}

Vì 7 và 8 luôn có mặt nên ta sẽ chọn cho 7 và 8 trước.

=>Có 4 cách chọn vị trí

Vì số 7 và 8 có thể hoán đổi được nên sẽ có 2!=2 cách hoán đổi

Số cách chọn cho 3 vị trí còn lại từ 6 số là 6*5*4=120(cách)

=>Có 4*2*120=120*8=960(số) cần tìm