Bài 1: Quy tắc đếm - Hỏi đáp

Đề bài ko rõ ràng lắm nhỉ. Ví dụ lấy ra 3 thẻ theo thứ tự là 0;1;2 có thỏa mãn ko? Hay phải theo thứ tự là 210 hoặc 120?

Ko quan tâm thứ tự thì:

- Lấy ra 1 thẻ chia hết cho 5: có 2 cách (0;5)

- Lấy ra 2 thẻ bất kì từ 9 thẻ còn lại: có \(C_9^2=36\) cách

Vậy có \(2.36=72\) cách

Số cách hoán vị 7 chữ số trong đó số 1 xuất hiện 2 lần: \(\frac{7!}{2!}=2520\) cách

Số trường hợp số 0 đứng đầu: \(\frac{6!}{2!}=360\) cách

Số số thỏa mãn: \(2520-360=2160\) số

Chia làm 3 nhóm \(A=\left\{0;3\right\};B=\left\{1;4\right\};C=\left\{2;5\right\}\)

Chọn ra 3 số có tổng chia hết cho 3 khi và chỉ khi mỗi số thuộc 1 nhóm

\(\Rightarrow\) Có \(2.2.2.3!=48\) số

Số trường hợp 0 đứng đầu: \(2.2.2!=8\)

Vậy có: \(48-8=40\) số thỏa mãn

Trong các số từ 1 tới 20 có 10 số lẻ và 10 số chẵn

Trong 10 số chẵn có 5 số chia hết cho 4 (4;8;12;16;20) và 5 số không chia hết cho 4

Do đó:

- Chọn 1 viên bi chia hết cho 4: có 5 cách

- Chọn 1 viên chẵn không chia hết cho 4: có 5 cách

- Chọn 3 viên lẻ từ 10 viên lẻ: \(C_{10}^3=120\) cách

Tổng cộng có: \(5.5.120=3000\) cách

Chia các số từ 1 đến 100 thành 3 nhóm:

\(A=\left\{1;4;7;...;100\right\}\) gồm 34 số chia 3 dư 1

\(B=\left\{3;6;9;...;99\right\}\) gồm 33 số chia hết cho 3

\(C=\left\{2;5;...;98\right\}\) gồm 33 số chia 3 dư 2

3 viên bi có tổng chia hết cho 3 khi chúng thỏa mãn: 3 viên cùng 1 nhóm hoặc 3 viên nằm ở 3 nhóm khác nhau

Vậy có: \(C_{34}^3+C_{33}^3+C_{33}^3+C_{34}^1.C_{33}^1.C_{33}^1=...\) số cách thỏa mãn

Chia các số gồm 2 nhóm:

\(A=\left\{1;3;5;...;99\right\}\) gồm 50 số lẻ

\(B=\left\{2;4;6;...;100\right\}\) gồm 50 số chẵn

Chọn 3 viên thỏa mãn có tổng là chẵn khi: (3 viên cùng ở nhóm B); (2 viên nhóm A và 1 viên nhóm B)

Vậy số cách thỏa mãn là:

\(C_{50}^3+C_{50}^2.C_{50}^1=...\)

Lời giải:
Gọi số cần tìm là $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$

Nếu $a_1=4$. Sắp xếp 6 số $0,1,2,3,5,6$ vào 4 vị trí còn lại có $A^4_6$ cách xếp

Ta lập được $A^4_6=360$ số thỏa mãn.

Nếu $a_1\neq 4$:

Khi đó số 4 có 4 vị trí có thể lựa chọn. Đối với mỗi vị trí của số 4 ta thấy: $a_1$ có 5 cách chọn ($a_1\neq 1,4$). Ba vị trí còn lại có $A^3_5$ cách chọn

Ta lập được $4.5.A^3_5=1200$ số

Tóm lại có $1560$ số có thể lập được.

Chọn 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại: \(C_6^4=15\) cách

Hoán vị 5 chữ số: \(5!=120\) cách

Tổng cộng có: \(15.120=1800\) số

Trường hợp số 0 đứng đầu: \(C_5^3.4!=240\) số

Vậy có: \(1800-240=1560\) số thỏa mãn

a/ Gọi số đó là \(\overline{abcde}\)

a có 3 cách chọn (1;3;5), e có 4 cách chọn (0;2;4;6), bộ ba bcd có \(A_5^3=60\) cách chọn và hoán vị

\(\Rightarrow3.4.60=720\) số thỏa mãn

b/ Gọi số đó là \(\overline{abcd}\)

Chọn ra 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại (0;2;3;4;5;6) để kết hợp với 1: có \(C_6^3=20\) cách

Hoán vị 4 chữ số: \(4!=24\) cách

\(\Rightarrow20.24=480\) số (trong đó bao gồm cả trường hợp 0 đứng đầu)

Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số trong đó có mặt số 0: \(C_5^2=10\) cách

Hoán vị các chữ số khi số 0 đứng đầu: \(3!=6\) cách

\(\Rightarrow10.6=60\) số có số 0 đứng đầu

Vậy có: \(480-60=420\) số thỏa mãn yêu cầu

Gọi 2 dãy ghế là dãy 1 và dãy 2

Chọn ra 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B xếp vào dãy 1: có \(C_4^2.C_4^2=36\) cách

Còn lại 2 học sinh lớp A xếp vào dãy 2 và ngồi đối diện học sinh lớp A ở dãy 1: có 2 cách

Tương tự, 2 học sinh còn lại của lớp B cũng có 2 cách

Hoán vị 4 cặp này: có \(4!=24\) cách

Tổng cộng có: \(36.2.2.24=...\) cách xếp thỏa mãn

Số cách ghép là:

\(C^3_{10}.C_{12}^3=26400\)

TH1: các bộ số phân biệt tổng bằng 10 có chứa số 0 là: \(\left(0;1;9\right);\left(0;2;8\right);\left(0;3;7\right);\left(0;4;6\right)\)

Hoán vị chúng, có tất cả: \(3!.4=24\) cách

Chọn 2 số còn lại từ 7 số: \(A_7^2=42\) cách

Vậy có \(24.42=1008\) số

TH2: các bộ 3 số phân biệt tổng bằng 10 ko chứa số 0 là: \(\left(1;2;7\right);\left(1;3;6\right);\left(1;4;5\right);\left(2;3;5\right)\)

Hoán vị chúng, có tất cả \(3!.4=24\) cách

Chọn 2 chữ số còn lại từ 7 chữ số còn lại (và loại trừ trường hợp 0 đứng đầu) có: \(A_7^2-A_6^1=36\) cách

Có: \(36.24=864\) số

Vậy có: \(1008+864=...\)

Xếp 1 và 2 cạnh nhau: \(2!=2\) cách

Chọn ra 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại: \(C_6^3=20\)

Chọn ra 3 chữ số trong đó có chứa số 0: \(C_5^2=10\)

Coi cặp 12 như 1 số, kết hợp 3 số còn lại được 4 số, hoán vị chúng và loại trừ trường hợp 0 đứng đầu:

\(2.\left(20.4!-10.3!\right)=840\) số

Do 2 số chẵn ko đứng cạnh nhau nên trong 6 chữ số phải có ít nhất 3 chữ số lẻ

Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ và hoán vị chúng: \(A_5^3=60\) cách

Chọn ra 3 chữ số bất kì từ 7 chữ số còn lại: \(C_7^3=35\) cách

3 chữ số lẻ ban đầu tại ra 4 khe trống, xếp 3 chữ số bất kì được chọn bên trên vào 4 khe trống đó, có \(A_4^3=24\) cách

Chọn ra 3 chữ số từ 7 chữ số còn lại, trong đó có chứa số 0: \(C_6^2=15\) cách

Xếp 3 bộ chữ số (chứa số 0) kia vào 4 khe trống sao cho số 0 đứng đầu: \(A_3^2=6\) cách

Vậy có: \(60.\left(35.24-15.6\right)=...\) số thỏa mãn

Chọn ra 2 số chẵn từ 4 số chẵn: có \(C_4^2=6\) cách

Chọn ra 2 số chẵn từ 4 số trong đó có mặt số 0: có 3 cách

Số có 5 chữ số bất kì có mặt 3 chữ số lẻ: \(6.5!-3.4!=648\) số (đã loại trừ trường hợp số 0 đứng đầu)

Xếp 3 số lẻ đứng cạnh nhau và hoán vị chúng: \(3!=6\) cách

Kết hợp với 2 số chẵn (đã loại trừ số 0 đứng đầu): \(6.\left(6.3!-3.2!\right)=180\) số

Vậy có: \(648-180=468\) số thỏa mãn yêu cầu

Gọi số đó là \(\overline{abcde}\)

e có 3 cách chọn, bộ abcd có \(A_6^4-A_5^3=300\) cách chọn và hoán vị

\(\Rightarrow3.300=900\) số lẻ có 5 chữ số khác nhau từ tập trên

Bây giờ ta đi tìm số lẻ nhỏ hơn 25000:

- Nếu \(a=2\) \(\Rightarrow b< 5\)

+ Với \(e=5\Rightarrow b\) có 4 cách chọn, cd có \(A_4^2=12\) cách \(\Rightarrow4.12=48\) số

+ Với \(e=\left\{1;3\right\}\) có 2 cách chọn \(\Rightarrow\) b có 3 cách, cd có 12 cách \(\Rightarrow2.3.12=72\) số

- Nếu \(a=1\Rightarrow e\) có 2 cách chọn, bộ bcd vẫn có 60 cách chọn và hoán vị \(\Rightarrow2.60=120\) số

Vậy có: \(900-\left(48+72+120\right)=660\) số