Bài 1: Giới hạn của dãy số

\(=\lim\left(\dfrac{1+2+...+n-1}{n^2}\right)=\lim\dfrac{n\left(n-1\right)}{2n^2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}+...+\dfrac{n}{2}=\dfrac{1+2+...+n}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{4}\)

\(\Rightarrow\lim\dfrac{\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{3}{2}+...+\dfrac{n}{2}}{n^2+1}=\lim\dfrac{n\left(n+1\right)}{4\left(n^2+1\right)}=\dfrac{1}{4}\)

Học lim là học csc,csn chưa ấy nhỉ :v Tui học lung tung nên chả biết lần đằng nào, thôi thì cứ nhớ cái này, cần CM tui CM luôn cho

Với csc: \(u_1+u_2+...+u_n=\dfrac{2\left(u_1+u_n\right)}{n}\)

csn: \(u_1+u_2+...+u_n=\dfrac{u_1.\left(1-q^n\right)}{1-q}\)

Ta thấy dãy số trên tử là một csc với công sai là d=1/2

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}+1+...+\dfrac{n}{2}=\dfrac{2\left(\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}\right)}{n}=\dfrac{n+1}{n}\)

\(lim\dfrac{n+1}{n\left(n^2+1\right)}=lim\dfrac{n+1}{n^3+n}=\dfrac{0}{1}=0\)

P/s: Tính giới hạn thì nếu tử và mẫu có bậc lớn nhất khác nhau thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất ở mẫu

À anh Lâm làm đúng rồi đấy, tui nhớ nhầm cái tổng -.- Đang nằm ngủ bỗng chốc nhớ ra nên bật dậy luôn :v

Csc: \(S_n=\dfrac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\)

Csn: \(S_n=u_1.\dfrac{q^n-1}{q-1}\)

Thay vô đúng bằng 1/4 đấy nhé

Nếu \(a\ne0\Rightarrow\lim\dfrac{an^3+bn^2+2n+4}{n^2+1}=\lim\dfrac{an+b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=\infty\) ko thỏa mãn

\(\Rightarrow a=0\)

Khi đó: \(\lim\dfrac{bn^2+2n+4}{n^2+1}=\lim\dfrac{b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=b\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow2a+b=1\)

\(=\lim\dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^n-3}{4\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-1}=\dfrac{-3}{-1}=3\)

Dạng này thì cứ chia cả tử và mẫu cho số hạng có lũy thừa cao nhất

\(=lim\dfrac{\left(\dfrac{2}{5}\right)^n-3.\left(\dfrac{5}{5}\right)^n}{4.\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-\left(\dfrac{5}{5}\right)^n}=\dfrac{-3}{-1}=3\)

\(lim\left(u_n+kv_n\right)=limu_n+limkv_n=2007\)

\(\Leftrightarrow5+13k=2007\\ \Leftrightarrow k=154\)

Bậc và hệ số bằng nhau, liên hợp

\(lim\left(\dfrac{n^4+2n^2-n^4+n^2}{\sqrt{n^4+2n^2}+\sqrt{n^4-n^2}}\right)=lim\dfrac{3n^2}{n^2.1+n^2.1}==\dfrac{3}{2}\)

\(=\lim\dfrac{n^2+2n-\left(n-1\right)^2}{\sqrt{n^2+2n}+n-1}=\lim\dfrac{4n-1}{\sqrt{n^2+2n}+n-1}\)

\(=\lim\dfrac{4-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1-\dfrac{1}{n}}=\dfrac{4}{1+1}=2\)

\(lim\left(\sqrt{n^3-3n}-n+5\right)=lim\left[n^{\dfrac{3}{2}}.\left(\sqrt{\dfrac{n^3}{n^3}-\dfrac{3n}{n^3}}-\dfrac{n}{n^{\dfrac{3}{2}}}+\dfrac{5}{n^{\dfrac{3}{2}}}\right)\right]=+\infty\)

Ta sẽ sd phép quy nạp một chút, tui nhớ cái dãy trong căn có trong SGK nên CM lại thôi :b

\(1^3+2^3+...+n^3=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Với n=1, mệnh đề có dạng \(1=\left[\dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\right]^3\)

=>Mệnh đề đúng với n=1

Giả sử n=k đúng với \(\forall k\ge1\) , nghĩa là:

\(1^3+2^3+..+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta cần chứng mình mệnh đề cũng đúng với n=k+1, nghĩa là:

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Thật vậy

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Vậy mệnh đề giả thiết đúng

\(lim\dfrac{\left(n+1\right).n\left(n+1\right)}{2.(3n^3+n+2)}=lim\dfrac{n^3}{6n^3}=\dfrac{1}{6}\)

Ta có đẳng thức: \(1^3+2^3+...+n^3=\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\lim\left(u_n\right)=\lim\dfrac{\left(n+1\right).n\left(n+1\right)}{2\left(3n^3+n+2\right)}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right).1.\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{2\left(3+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{2}{n^3}\right)}=\dfrac{1.1.1}{6}=\dfrac{1}{6}\)