Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 14 tháng 12 2020 lúc 23:28

Do \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) có 4 nghiệm pb \(x_1;x_2;x_3;x_4\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\)

Ta có:

\(f'\left(x\right)=a\left[\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)+\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)+\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)+\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_4\right)\right]\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x_1\right)=a\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)\left(x_1-x_4\right)\\f'\left(x_2\right)=a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_2-x_4\right)\\f'\left(x_3\right)=a\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_4\right)\\f'\left(x_4\right)=a\left(x_4-x_1\right)\left(x_4-x_2\right)\left(x_4-x_3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà tiếp tuyến tại A và B vuông góc \(\Leftrightarrow f'\left(x_1\right).f'\left(x_2\right)=-1\) (1)

Do \(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành 1 CSC, giả sử công sai của CSC là \(d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=x_1+d\\x_3=x_1+2d\\x_4=x_1+3d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x_1\right)=a.\left(-d\right).\left(-2d\right).\left(-3d\right)=-6ad^3\\f'\left(x_2\right)=a.d.\left(-d\right).\left(-2d\right)=2ad^3\\f'\left(x_3\right)=a.2d.d.\left(-d\right)=-2ad^3\\f'\left(x_4\right)=a.3d.2d.d=6ad^3\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1): \(-12a^2d^6=-1\Leftrightarrow12a^2d^6=1\)

\(\Rightarrow f'\left(x_3\right)+f'\left(x_4\right)=4ad^3\)

\(\Rightarrow S=\left(4ad^3\right)^{2020}=\left(16a^2d^6\right)^{1010}=\left(\dfrac{4}{3}.12a^2d^6\right)^{1010}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{1010}\)

Bài gì mà dễ sợ :(

Bình luận (0)
Minh Nguyệt
Minh Nguyệt 14 tháng 12 2020 lúc 23:43

undefined

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 15 tháng 12 2020 lúc 0:06

Đầu tiên xác định cụ thể pt (P) ra:

(P) qua điểm \(\left(0;-3\right)\Rightarrow c=-3\)

Từ độ độ đỉnh: \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=2\\\dfrac{4ac-b^2}{4a}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4a\\-12a-16a^2=4a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=-x^2+4x-3\)

\(\Rightarrow y'=-2x+4\)

Gọi giao điểm của \(d_1;d_2\) là A và giao điểm của \(d_1;d_2\) với Ox lần lượt là B và C \(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A (\(y'=-2x+4\) nên (P) không thể tồn tại 1 tiếp tuyến vuông góc trục hoành dạng \(x=k\) do đó 2 tiếp tuyến ko bao giờ vuông góc với Ox)

\(\Rightarrow AB\) tạo với trục hoành 1 góc 45 độ

\(\Rightarrow\) Hệ số góc của đường thẳng \(d_1\) là \(k=tan45^0=1\)

\(\Rightarrow y'=-2x+4=1\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{3}{4}\)

Phương trình \(d_1\)\(y=1\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow y=x-\dfrac{3}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 9 tháng 6 2020 lúc 23:22

\(y'=\frac{-5}{\left(1-2x\right)^2}\)

a/ Tọa độ giao điểm A của (C) và trục hoành thỏa mãn:

\(\frac{x-3}{1-2x}=0\Rightarrow x=3\)

\(y'\left(3\right)=-\frac{1}{5}\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-\frac{1}{5}\left(x-3\right)+0=-\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}\)

b/ Tiếp tuyến song song với \(y=-5x+7\) nên có hệ số góc bằng -5

\(\Rightarrow\frac{-5}{\left(1-2x\right)^2}=-5\Rightarrow\left(1-2x\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-3\\x=1\Rightarrow y=2\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-5x-3\\y=-5\left(x-1\right)+2\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 6 2020 lúc 23:39

\(y'=\frac{3}{\left(x+1\right)^2}\)

a/ \(y'\left(1\right)=\frac{3}{4}\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=\frac{3}{4}\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\) (bạn tự rút gọn)

b/ Tiếp tuyến song song với \(y=3x+1\Rightarrow\) có hệ số góc \(k=3\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(x_0+1\right)^2}=3\Rightarrow\left(x_0+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\Rightarrow y_0=-2\\x_0=-2\Rightarrow y_0=4\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=3\left(x-0\right)-2\\y=3\left(x+2\right)+4\end{matrix}\right.\)

c/ Tiếp tuyến vuông góc với \(y=-\frac{1}{12}x-4\Rightarrow\) có hệ số góc \(k=12\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(x_0+1\right)^2}=12\Rightarrow\left(x_0+1\right)^2=\frac{1}{4}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=-5\\x_0=-\frac{3}{2}\Rightarrow y_0=7\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=12\left(x+\frac{1}{2}\right)-5\\y=12\left(x+\frac{3}{2}\right)+7\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 6 2020 lúc 23:45

d/ Giao điểm với trục tung

\(\Rightarrow x_0=0\Rightarrow y_0=-2\)

\(y'\left(0\right)=3\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=3x-2\)

e/ Giao điểm với trục hoành:

\(y_0=0\Rightarrow\frac{x_0-2}{x_0+1}=0\Rightarrow x_0=2\)

\(\Rightarrow y'\left(2\right)=\frac{1}{3}\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\)

f/ Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{x-2}{x+1}=x-2\Leftrightarrow x-2=\left(x-2\right)\left(x+1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)

- Với \(x_0=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_0=0\\y'\left(2\right)=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Tiếp tuyến: \(y=\frac{1}{3}\left(x-2\right)\)

- Với \(x_0=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_0=-2\\y'\left(0\right)=3\end{matrix}\right.\)

Tiếp tuyến: \(y=3x-2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 18 tháng 5 2020 lúc 14:21

\(y'=-x^2-4x-3=-\left(x+2\right)^2+1\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=-2\)

\(\Rightarrow x_0=-2\) \(\Rightarrow y_0=\frac{5}{3}\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=1\left(x+2\right)+\frac{5}{3}\Leftrightarrow y=x+\frac{11}{3}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 1 tháng 5 2020 lúc 10:23

\(y'=3\left(3x^5-1\right)^2.15x^4\left(1-3x^2\right)^4-4\left(1-3x^2\right)^3.6x\left(3x^5-1\right)^3\)

Tại điểm \(x=0\Rightarrow y'\left(0\right)=0\) ; \(y\left(0\right)=-1\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=0\left(x-0\right)-1\Leftrightarrow y=-1\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 28 tháng 4 2020 lúc 23:18

Nhìn thấy đạo hàm bằng định nghĩa là thấy ớn, dài dữ dội

- Khi \(x>1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{4x-4}{x+1}\)

\(\Delta x=x-x_0\) \(\Rightarrow\Delta y=\frac{4\Delta x+4x_0-4}{x_0+\Delta x+1}-\frac{4x_0-4}{x_0+1}=\frac{8\Delta x}{\left(x_0+1\right)\left(x_0+1+\Delta x\right)}\)

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{8\Delta x}{\Delta x\left(x_0+1\right)\left(x_0+1+\Delta x\right)}=\frac{8}{\left(x_0+1\right)^2}\)

- Khi \(x< 1\Rightarrow f\left(x\right)=2x-2\)

\(\Delta x\) là số gia của \(x_0< 1\)

\(\Rightarrow\Delta y=2\left(x_0+\Delta x\right)-2-\left(2x_0-2\right)=2\Delta x\)

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2\)

- Khi \(x\rightarrow1^+\Rightarrow\Delta y\rightarrow2\left(1+\Delta x\right)-2\rightarrow2\Delta x\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f'\left(x\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f'\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{8}{\left(1+1\right)^2}=2\)

\(\Rightarrow f'\left(1\right)=2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 27 tháng 4 2020 lúc 17:58

\(y'=-\frac{1}{x^2}< 0\) ; \(\forall x\ne0\)

\(\Rightarrow\) Hệ số góc của tiếp tuyến (H) luôn âm do đó ko tồn tại điểm M như yêu cầu

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 27 tháng 4 2020 lúc 17:01

Để hs có đạo hàm trước hết nó phải liên tục

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=f\left(2\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=2b+c+4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=f\left(x\right)\Rightarrow2b+c+4=1\Rightarrow2b+c=-3\)

Mặt khác ta có: \(f'\left(x\right)_{-\sqrt{5}\le x\le2}=\frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f'\left(x\right)=\frac{-2}{1}=-2\)

\(f'\left(x\right)_{x>2}=2x+b\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f'\left(x\right)=b+4\)

Để hàm số có đạo hàm tại \(x=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=-3\\b+4=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6\\c=9\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN