Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

a/ \(\left\{{}\begin{matrix}S\in SB\subset\left(SBC\right)\\S\in SC\subset\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow S=\left(SBC\right)\cap\left(SCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}C\in SC\subset\left(SBC\right)\\C\in SC\subset\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow C=\left(SBC\right)\cap\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(SBC\right)\cap\left(SCD\right)=SC\)

b/ Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}O=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\\S=\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(SBD\right)\cap\left(SAC\right)=SO\)

c/ \(\left\{{}\begin{matrix}S=\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\\Sx//AD//BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)=Sx\)

AB=2PS hay AP=2PS vậy bạn?

Do M, K là trung điểm SC, BC \(\Rightarrow KM//SB\)

Trong mp (SAB)< qua A kẻ đường thẳng d//SB

\(\Rightarrow d=\left(SAB\right)\cap\left(AKM\right)\)

a. 

Trong mp (SAB) nối PM kéo dài cắt SB tại G

Trong mp (ABCD) nối PN cắt BC kéo dài tại H

\(\Rightarrow GH=\left(MNP\right)\cap\left(SBC\right)\)

b.

Nối SE cắt AD tại I, nối SF cắt BC tại K

Trong mp (ABCD), nối IK cắt PN kéo dài tại S

Trong mp (SBC), SF kéo dài cắt GH tại R

\(\Rightarrow RS\) là giao tuyến của (MNP) và (SEF)

Trong mp (SEF), nối RS và EF cắt nhau tại Q

\(\Rightarrow Q=EF\cap\left(MNP\right)\)

Gọi O là giao điểm AC và BD

Trong mp (SAC), nối SO cắt AI tại P

Ba mặt phẳng (SAC), (SBD), (\(\alpha\)), cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt là SO, AI, MN nên chúng đồng quy tại P

Mà SO và AI đều là trung tuyến của tam giác SAC \(\Rightarrow\frac{SO}{SP}=\frac{3}{2}\)

Trong trường hợp đặc biệt nhất, MN song song BD \(\Rightarrow\frac{SB}{SM}=\frac{SD}{SN}=\frac{SO}{SP}=\frac{3}{2}\) (Talet)

\(\Rightarrow T=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

Ta có:

\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}\)

\(=\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}\right)+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}\)

Lấy module 2 vế:

\(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right|=2\left|\overrightarrow{IJ}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right|=2IJ\)

Mà theo BĐT vecto: \(AC+BD>\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right|\)

\(\Rightarrow AC+BD>2IJ\)

Trong mp (ABCD), nối MN kéo dài cắt BC và CD kéo dài lần lượt tại E và F

Trong mp (SBC), nối EP cắt SB tại H

Trong mp (SCD), nối PE cắt SD tại K

Ngũ giác MNKPH là thiết diện của (MNP) và chóp

2.

\(IJ//BC\) (đường trung bình)

Trong mp (ABCD), qua A kẻ đường thẳng d song song BC cắt CD kéo dài tại E

Trong mp (SCD), nối EJ cắt SD tại F

Tứ giác AIJF là thiết diện của (AIJ) và chóp

Trong mp (ABCD), nối CM cắt BD tại E

Trong mp (SMC), nối SE và MN cắt nhau tại H

\(\Rightarrow H=MN\cap\left(SBD\right)\)