§2. Phương trình đường tròn

1: (C1): x^2+8x+16+y^2-6y+9=16

=>(x+4)^2+(y-3)^2=16

=>A(-4;3) và R=4

(c2): x^2+2x+1+y^2-6y+9=1

=>(x+1)^2+(y-3)^2=1

=>R=1; B(-1;3)

\(AB=\sqrt{\left(-1+4\right)^2+\left(3-3\right)^2}=3\)

Vì 4-1=3

nên hai đường tròn này tiếp xúc trong

2: Số tiếp tuyến chung là 1

Người ra đề chắc hơi lộn xộn một chút về kí hiệu các điểm, vì điểm \(A\left(1;2\right)\) chắc chắn không liên quan gì đến điểm A trong "cắt đường tròn tại 2 điểm AB" (vì một điểm thuộc đường tròn (C) còn 1 điểm thì không)

Để đỡ nhầm lẫn, chúng ta thay tên \(A\left(1;2\right)\) bằng \(M\left(1;2\right)\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=2\)

Do \(AB=4=2R\) nên AB là đường kính

\(\Rightarrow\Delta\) đi qua tâm I

\(\overrightarrow{IM}=\left(1;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng \(\Delta\) nhận (3;1) là 1 vtpt

Phương trình \(\Delta\):

\(3\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow3x+y-5=0\)

Chắc chắn là đề bài này sai, vì A nằm ngoài đường tròn nên ko tồn tại đường thẳng yêu cầu

Khi dính đến tâm đường tròn nội tiếp thì có 2 cách giải, 1 là trâu bò (giả sử tâm I(x;y) và sử dụng đẳng thức khoảng cách từ I đến 3 cạnh tam giác bằng nhau, hoặc là viết phương trình 2 đường phân giác trong tìm I), cách 2 là sử dụng đẳng thức cho tâm đường tròn nội tiếp:

\(BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Nếu sử dụng đẳng thức này thì luôn tìm ra tâm I cực kì nhanh, em học nó chưa nhỉ?

\(Pt\left(C\right):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\left(11;-7\right)\in\left(C\right)\\B\left(23;9\right)\in\left(C\right)\\C\left(-1;2\right)\in\left(C\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11^2+\left(-7\right)^2-2.11a-2.\left(-7\right)b+c=0\\23^2+9^2-2.23a-2.9b+c=0\\\left(-1\right)^2+2^2-2.\left(-1\right)a-2.2b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-22a+14b+c=-170\\-46a-18b+c=-610\\2a-4b+c=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=\dfrac{11}{2}\\c=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(11;\dfrac{11}{2}\right)\) 

Bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{11^2+\dfrac{11}{2}^2+5}=\dfrac{25}{2}\)

Vậy pt đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC:\left(x-11\right)^2+\left(y-\dfrac{11}{2}\right)^2=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

Ptđt có dạng: \(\left(C\right):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\left(a^2+b^2-c>0\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A\in\left(C\right):11^2+\left(-7\right)^2-22a+14b+c=0\\B\in\left(C\right):23^2+9^2-46a-18b+c=0\\C\in\left(C\right):\left(-1\right)^2+2^2+2a-4b+c=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=11\\b=\dfrac{11}{2}\\c=-5\end{matrix}\right.\) Vậy \(\left(C\right):x^2+y^2-22x-11y-5=0\)

Giả sử (C) tâm I ; BK R 

\(I\in d':2x+y=0\)  \(\Rightarrow I\left(t;-2t\right)\) 

 \(\Rightarrow R^2=IA^2=\left(t-4\right)^2+\left(-2t-2\right)^2\)  \(=5t^2+20\)

Ta có : \(IA=\dfrac{\left|t-7.\left(-2t\right)+10\right|}{\sqrt{1+7^2}}\)  \(\Rightarrow IA^2=\dfrac{\left(15t+10\right)^2}{50}=\dfrac{\left(3t+2\right)^2}{2}\)

Suy ra : \(5t^2+20=\dfrac{\left(3t+2\right)^2}{2}\)  \(\Leftrightarrow10t^2+40=9t^2+12t+4\)

\(\Leftrightarrow t^2-12t+36=0\) \(\Leftrightarrow t=6\)

Suy ra : \(I\left(6;-12\right)\) ; \(R^2=200\)

PT (C) : \(\left(x-6\right)^2+\left(y+12\right)^2=200\)

Do I thuộc \(2x+y=0\) nên tọa độ có dạng \(I\left(x;-2x\right)\)

Đường thẳng \(d_1\) qua A và vuông góc (d) có pt:

\(7\left(x-4\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow7x+y-30=0\)

Do (C) tiếp xúc (d) tại A nên I thuộc \(d_1\)

Thay tọa độ I vào pt \(d_1\Rightarrow7x+\left(-2x\right)-30=0\Rightarrow x=6\)

\(\Rightarrow I\left(6;-12\right)\Rightarrow R^2=IA^2=200\)

Phương trình: \(\left(x-6\right)^2+\left(y+12\right)^2=200\)

1.

Gọi \(I\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(x-1;y-3\right)\)

Do đường tròn tiếp xúc với \(d_1;d_2\) nên:

\(d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\Rightarrow\dfrac{\left|5x+y-3\right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{\left|2x-7y+1\right|}{\sqrt{53}}\)

Chà, đề đúng ko em nhỉ, thế này thì vẫn làm được nhưng rõ ràng nhìn 2 cái mẫu kia thì số liệu sẽ xấu 1 cách vô lý.

2.

Phương trình đường thẳng kia là gì nhỉ? \(2x+y=0\) à?

Đường thẳng \(\left(d_1\right)\) qua B và vuông góc (d) có dạng:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y+1=0\)

Tâm I của đường tròn thuộc \(\left(d_1\right)\) nên tọa độ có dạng 

\(I\left(2y-1;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\left(2y-4;y-3\right)\\\overrightarrow{BI}=\left(2y-2;y-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(AI=BI\Rightarrow\left(2y-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=\left(2y-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{5}{3}\Rightarrow I\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}\right)\) \(\Rightarrow R^2=AI^2=\dfrac{20}{9}\)

\(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-\dfrac{7}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{20}{9}\)

Phương trình giao điểm hai đường tròn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=8\\\left(x-2\right)^2+y^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=8\\x^2+y^2-4x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=8\\4x=8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt{8-x^2}\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A\left(2;2\right)\\B\left(2;-2\right)\end{matrix}\right.\) 

Tới đây dễ dàng viết được pt AB có dạng: \(x-2=0\)

(C): x^2+y^2-2ax-2by+c=0

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+1-2a-2b+c=0\\4+9-4a+6b+c=0\\9+1-6a-2b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2a-2b+c=-2\\-4a+6b+c=-13\\-6a-2b+c=-10\end{matrix}\right.\)

=>a=2; b=-7/8; c=1/4

=>(C): x^2+y^2-4x+7/4x+1/4=0

=>x^2-4x+4+y^2+2*x*7/8+49/64=289/64

=>(x-2)^2+(y+7/8)^2=(17/8)^2