§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

tthnew
tthnew 23 giờ trước (19:10)

7,3, -6

ĐKXĐ: \(x\ne7;x\ne2\)

BPT \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\dfrac{\left(6-2x\right)^3\left(x+6\right)}{\left(x-7\right)^3}\le0\)

Lập bảng xét dấu ta có:

Từ đây ta thấy \(-6\le x\le3\) hoặc \(x>7\) thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

Vậy...

 

Bình luận (0)
Yehudim
Yehudim 11 tháng 12 2020 lúc 22:56

Đề bài là gì thế bro?

Bình luận (0)
Hồng Phúc
Hồng Phúc CTV 30 tháng 11 2020 lúc 22:05

ĐKXĐ: \(x\le2\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{2-x}=\sqrt{\left(x^2+2x+4\right)\left(2-x\right)}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x+4\right)\left(2-x\right)}-\sqrt{2-x}-\sqrt{x^2+2x+4}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-x}\left(\sqrt{x^2+2x+4}-1\right)-\left(\sqrt{x^2+2x+4}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2-x}-1\right)\left(\sqrt{x^2+2x+4}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2-x}-1=0\\\sqrt{x^2+2x+4}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+2x+3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(x+1\right)^2=-1\left(\text{vô nghiệm}\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\left(tm\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 27 tháng 8 2020 lúc 22:39

ĐKXĐ: \(-2\le x\le5\)

Đặt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=7+2\sqrt{3x-x^2+10}\Rightarrow\sqrt{3x-x^2+10}=\frac{t^2-7}{2}\) (1)

Pt trở thành:

\(t+\frac{t^2-7}{2}=4\Leftrightarrow t^2+2t-15=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-5\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1): \(\sqrt{3x-x^2+10}=\frac{t^2-7}{2}=1\)

\(\Leftrightarrow3x-x^2+10=1\Rightarrow x^2-3x-9=0\) (bấm máy)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 27 tháng 7 2020 lúc 22:29

\(P=\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\Rightarrow2P=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}\)

\(\Rightarrow3-2P=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{a+b+c+6}\)

\(3-2P\ge\frac{a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{a+b+c+6}\ge\frac{a+b+c+6\sqrt[6]{a^2b^2c^2}}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+6}{a+b+c+6}=1\)

\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)

Bình luận (0)
Yehudim
Yehudim 22 tháng 7 2020 lúc 12:05

Có một cách khác nè :3 Nhưng đương nhiên vẫn dài hơn cách anh Lâm :v

\(ab+\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}=\frac{a^3b+ab^3+2ab+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2+2}\)

\(=\frac{a^2\left(ab+1\right)+b^2\left(ab+1\right)}{a^2+b^2+2}\le\frac{\left(ab+1\right)\left(a^2+b^2\right)}{2ab+2}\left(vi-a^2+b^2\ge2ab\right)\)

\(=\frac{\left(ab+1\right)\left(a^2+b^2\right)}{2\left(ab+1\right)}=\frac{a^2+b^2}{2}=VT\)

Done :3

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 21 tháng 7 2020 lúc 19:31

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}-ab-\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2}-\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2}\right)\ge0\)

\(\frac{\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a^2+b^2+2\right)}\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 21 tháng 7 2020 lúc 19:34

Đặt \(S=b-a+\frac{20}{a}+\frac{7}{b}\)

\(S=7\left(b+\frac{1}{b}\right)+20\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)-6\left(a+b\right)\)

\(S\ge7.2\sqrt{\frac{b}{b}}+20.2\sqrt{\frac{a}{4a}}-6.3=16\)

\(S_{min}=16\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 25 tháng 6 2020 lúc 17:09

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)

Tương tự: \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b;\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

Cộng vế với vế của các BĐT trên rồi thu gọn, ta được:

\(\sum\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Bình luận (0)
Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN