§1. Mệnh đề

TH₁ : Đồ thị hàm số y = 3mx² - (m - 9)x + 8  - m² có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi hàm số trên là hàm số lẻ trên tập xác định R

Khi đó f(x) + f(-x) = 0

⇒ 3mx² + 3mx² - (m - 9)x + 8- m² + (m - 9)x - m² + 8 = 0

⇒ 6mx² + 16 = 0 (không có m) 

Có 2 điểm nghĩa là chỉ cần tồn tại 2 điểm thôi, không phải "với mọi" như là hàm lẻ (hàm lẻ thì đối xứng qua gốc tọa độ với mọi x)

Giả sử tồn tại điểm A có hoành độ \(x=a\) và B là điểm thuộc (P) đồng thời đối xứng A qua gốc tọa độ 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=-x_B\\y_A=-y_B\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=-a\\y_A+y_B=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3ma^2-\left(m-9\right)a+8-m^2+\left[3ma^2+\left(m-9\right)a+8-m^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow6ma^2+16-2m^2=0\) (m=0 không thỏa mãn)

\(\Leftrightarrow a^2=\dfrac{m^2-8}{3m}\)

Do \(a^2\ge0\Rightarrow\dfrac{m^2-8}{3m}\ge0\)

\(\Rightarrow m\in[-2\sqrt{2};0)\cup[2\sqrt{2};+\infty)\)

\(\Rightarrow\) Có \(2019-3+1=2017\) giá trị nguyên của m thỏa mãn

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}\right|\)

\(T^2=AB^2+9AD^2+6\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\) (để ý rằng AB, AD vuông góc nên \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\))

\(T^2=AB^2+9AD^2=2^2+9.3^2=85\)

\(\Rightarrow T=\sqrt{85}\)

Ghi rõ toàn bộ câu hỏi ra đi bạn

tìm tất cả m để pt có nghiệm

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

Chia 2 vế cho \(\sqrt{x+2}\) (luôn dương với \(x>2\)) ta được:

\(4\sqrt{\dfrac{x-2}{x+2}}+m^2=5\sqrt[4]{\dfrac{x-2}{x+2}}\)

Đặt \(\sqrt[4]{\dfrac{x-2}{x+2}}=t\Rightarrow t\ge0\)

Đồng thời \(\dfrac{x-2}{x+2}=1-\dfrac{4}{x+2}< 1\) ;\(\forall x>2\Rightarrow t< 1\Rightarrow0\le t< 1\)

Pt trở thành:

\(4t^2+m^2=5t\Leftrightarrow4t^2-5t=-m^2\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=4t^2-5t\) trên \([0;1)\):

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{5}{8}\in[0;1)\) 

\(f\left(0\right)=0\) ; \(f\left(\dfrac{5}{8}\right)=-\dfrac{25}{16}\) ; \(f\left(1\right)=-1\)

\(\Rightarrow-\dfrac{25}{16}\le f\left(t\right)\le0\)

Pt có nghiệm khi và chỉ khi: \(-\dfrac{25}{16}\le-m^2\le0\Leftrightarrow0\le m^2\le\dfrac{25}{16}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{5}{4}\le m\le\dfrac{5}{4}\)

\(P=\dfrac{1}{xyz\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\ge\dfrac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)

\(P\ge3\left(\dfrac{1}{xy+yz+zx}-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(P_{min}=-\dfrac{1}{3}\) khi \(x=y=z=1\)

Ta có f(-x) = 4(-x)² - 2 = 4x² - 2 = f(x)

⇒ Hàm số trên là hàm số lẻ