§1. Đại cương về phương trình

Ta có: \(\Delta=4m^2-8m+1\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< \dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\\x>\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-2m\left(1\right)\\x_1x_2=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Ta lập được HPT \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-2m\\2x_1=x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=1-2m\\x_2=2x_1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1-2m}{3}\\x_2=\dfrac{2-4m}{3}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với (2), ta được:

\(\dfrac{8m^2-12m+2}{9}=m\) \(\Leftrightarrow...\) 

Gọi I là giao điểm MB, CN thì I là trọng tâm tam giác 

\(sin\widehat{ACN}=\dfrac{AB}{2CN}=\dfrac{AB}{\sqrt{4AC^2+AB^2}}\) ; \(BM=\sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+AB^2}\Rightarrow IM=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+AB^2}\)

Ta có: \(\dfrac{sin\widehat{CIM}}{CM}=\dfrac{sin\widehat{ACN}}{IM}\Leftrightarrow sin\alpha=\dfrac{CM}{IM}sin\widehat{ACN}=\dfrac{AC}{\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{AC^2}{4}+AB^2}}.\dfrac{AB}{\sqrt{4AC^2+AB^2}}\)

\(\Leftrightarrow sin\alpha=\dfrac{3AB.AC}{\sqrt{\left(4AB^2+AC^2\right)\left(4AC^2+AB^2\right)}}\le\dfrac{3AB.AC}{5AB.AC}=\dfrac{3}{5}\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)

\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)

\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)

(đúng hiển nhiên)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

\(\left|2x-5\right|+\left|2x^2-7x+5\right|=0\) 

TH1 : x<1<=> \(-\left(2x-5\right)+\left(2x-5\right)\left(x+1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\left(loại\right)\\x=2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: \(1\le x< \dfrac{5}{2}\) <=> \(-\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)\left(x-1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\left(loại\right)\\x=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH3: \(x\ge\dfrac{5}{2}\) <=> \(2x-5+\left(2x-5\right)\left(x-1\right)=0\) 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\left(tm\right)\\x=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có nghiệm x= 5/2

Bạn trước làm thì mình không nói là sai nhưng mình nghĩ cách này sẽ hay hơn

Đặt f(x) = |2x - 5| + |2x² - 7x + 5| 

|2x - 5| ≥ 0 và |2x² - 7x + 5| ≥ 0 với mọi x

f(x) = 0 ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-5=0\\2x^2-7x+5=0\end{matrix}\right.\) 

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ x = \(\dfrac{5}{2}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = \(\left\{\dfrac{5}{2}\right\}\)

a, Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m^2-2m-2\right)=-3m^2+4m+3>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}< m< \dfrac{2+\sqrt{13}}{3}\)

b, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\2\left(m+1\right)>0\\4m^2-2m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)