Cho các bất đẳng thức :
\(a>b,a< b;c>0;c< 0;a+c< b+c;a+c>b+c;ac< bc;ac>bc\)
Hãy đặt các bất đẳng thức thích hợp vào chỗ trống (......) trong câu sau :
Nếu ............., và ..................thì ......................
Cho \(a>b\), chứng tỏ :
a) \(3a+5>3b+2\)
b) \(2-4a< 3-4b\)
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b
a) Chứng tỏ 2,99 là nghiệm của bất phương trình \(3>x\). Hãy kể ra ba số lớn hơn 2,99 mà cũng là nghiệm của bất phương trình đó ?
b) Chứng tỏ 4,01 là nghiệm của bất phương trình \(4< x\). Hãy kể ra ba số nhỏ hơn 4,01 mà cũng là nghiệm của bất phương trình đó ?
a: Vì 2,99<3 nên 2,99 là nghiệm của bất phương trình 3>x
2,991; 2,992; 2,993
b: Vì 4,01>4 nên 4,01 là nghiệm của bất phương trình 4<x
4,004; 4,005; 4,006
Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số :
a) \(2\left(3x-1\right)-2x< 2x+1\)
b) \(4x-8\ge3\left(3x-2\right)+4-2x\)
\(\Rightarrow6x-2-2x< 2x+1\)
\(\Rightarrow6x-2x-2x< 1+2\)
\(\Rightarrow2x< 3\)
\(\Rightarrow x< \dfrac{3}{2}\)
b)\(\Rightarrow4x-8\ge9x-6+4-2x\)
\(\Rightarrow4x-9x+2x\ge-6+4+8\)
\(\Rightarrow-3x\ge6\)
\(\Rightarrow x\le-2\)
Giải các bất phương trình :
a) \(2x+1,4< \dfrac{3x-7}{5}\)
b) \(1+\dfrac{1+2x}{3}>\dfrac{2x-1}{6}-2\)
a: =>3x-7>5(2x+1,4)
=>3x-7>10x+7
=>-7x>14
hay x<-2
b: \(\Leftrightarrow6+2\left(2x+1\right)>2x-1-12\)
=>6+4x+2>2x-13
=>4x+8>2x-13
=>2x>-21
hay x>-21/2
Một người đi bộ một quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h ?
Giải các phương trình :
a) \(\left|2x\right|=3x-2\)
b) \(\left|-3,5x\right|=1,5x+5\)
c) \(\left|x+15\right|=3x-1\)
d) \(\left|2-x\right|=0,5x-4\)
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{2}{3}\\\left(3x-2-2x\right)\left(3x-2+2x\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{2}{3}\\\left(x-2\right)\left(5x-2\right)=0\end{matrix}\right.\)
hay x=2
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=-\dfrac{10}{3}\\\left(-3,5x-1,5x-5\right)\left(-3,5x+1,5x+5\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=-\dfrac{10}{3}\\\left(-5x-5\right)\left(-2x+5\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{-1;\dfrac{5}{2}\right\}\)
c: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{1}{3}\\\left(3x-1-x-15\right)\left(3x-1+x+15\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{1}{3}\\\left(2x-16\right)\left(4x+14\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=8\)
d: \(\Leftrightarrow\left|x-2\right|=0,5x-4\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=8\\\left(0,5x-4-x+2\right)\left(0,5x-4+x-2\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=8\\\left(-0,5x-2\right)\left(1,5x-6\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\varnothing\)
Chứng tỏ rằng, trong một tam giác thì độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi ?
Với số m và số n bất kì, chứng tỏ rằng :
a) \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)
b) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
a. Ta có:
\(\left(m+1\right)^2\)\(=m^2+2m+1\)
\(\left(m+1\right)^2\ge4m\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-4m\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall\) m)
Vậy \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)
b. \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)
Ta có:
\(\left(m^2+1\right)^2\ge4m^2\) \(\Rightarrow m^2+1\ge2m\)
\(\left(n^2+1\right)^2\ge4n^2\Rightarrow n^2+1\ge2n\)
Cho \(a>0,b>0\), chứng tỏ rằng :
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
áp dụng BĐT cô si, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\end{matrix}\right.\) nhân 2 vé với nhau, ta được:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\sqrt{\dfrac{1}{ab}.ab}=4\left(đpcm\right)\)
Nếu a>0 và b>0 thì a+c>b+c
Nếu a<0 và b<0 thì a+c<b+c
Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
Nếu a>c và c<0 thì ac<bc