Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)
Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Phương trình biểu thị khối lượng của vật qua x và y là \(x+y=124\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Thể tích của vật là \(15\,c{m^3}\) nên ta có phương trình \(\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\left( {c{m^3}} \right).\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Qua hoạt động 1 và hoạt động 2, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\end{array} \right.\) 

Từ phương trình đầu ta có \(x = 124 - y\) thay vào phương trình thứ hai ta được \(\frac{{124 - y}}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\) nên \(\frac{{19}}{{623}}y + \frac{{1240}}{{89}} = 15\) hay \(y = 35.\)

Với \(y = 35\) thì ta có \(x = 124 - 35 = 89.\)

Vậy vật đó có 89 g đồng và 35 gam kẽm.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\)

Thời gian di chuyển của xe khách từ HCM đến điểm gặp nhau là 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút \( = \frac{8}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe khách đi được là \(\frac{8}{3}.y\left( {km} \right).\)

Thời gian di chuyển của xe tải từ Cần Thơ đến điểm gặp nhau là 40 phút \( = \frac{2}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}x\left( {km} \right).\)

Vì hai xe di chuyển ngược chiều nên tổng quãng đường hai xe đi được chính là khoảng cách từ HCM đến Cần Thơ nên ta có phương trình: \(\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\left( {km} \right).\)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có phương trình \(y - x = 15\)

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\\y - x = 15\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 15 + x\) thế vào phương trình đầu ta được \(\frac{8}{3}\left( {15 + x} \right) + \frac{2}{3}x = 170\) suy ra \(\frac{{10}}{3}x + 40 = 170\) nên \(x = 39\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 39\) ta có \(y = 15 + 39 = 54\left( {t/m} \right).\)

Vậy vận tốc của xe tải là 39 km/h và vận tốc của xe khách là 54 km/h.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) giờ \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được  \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).

Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) - \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5x}}} \right) = \frac{3}{{20}} - \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi chữ số N cần tìm có dạng \(\overline {ab} \left( {a,b \in \mathbb{N};0 < a \le 9;0 \le b \le 9} \right)\)

Tổng của hai chữ số đó bằng 12 nên ta có phương trình \(a + b = 12.\)

Hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta được số mới có dạng \(\overline {ba} .\)

Ta được số mới lớn hơn số đã cho là 36 đơn vị nên ta có phương trình \(\overline {ba}  - \overline {ab}  = 36\)

Nên \(10b + a - \left( {10a + b} \right) = 36\) suy ra \(9b - 9a = 36\) hay \(b - a = 4.\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 12\\b - a = 4\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {a + b} \right) + \left( {b - a} \right) = 12 + 4\) hay \(2b = 16\) nên \(b = 8\left( {t/m} \right).\)

Thay \(b = 8\) vào phương trình thứ nhất ta có \(a + 8 = 12\) nên \(a = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy số N cần tìm là 48.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi số lần bắn đạt 8 điểm là x (lần), số lần bắn đạt 6 điểm là y (lần) \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\)

Tổng số lần bắn là 100 lần nên ta có phương trình \(25 + 42 + x + 15 + y = 100\) hay \(x + y = 18.\)

Điểm trung bình của 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:

\(\frac{{10.25 + 9.42 + 8.x + 7.15 + 6y}}{{100}} = 8,69\) hay \(8x + 6y = 136.\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\8x + 6y = 136\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\4x + 3y = 68\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(3x + 3y = 24\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 54\\4x + 3y = 68\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {3x + 3y} \right) - \left( {4x + 3y} \right) = 54 - 68\) hay \( - x =  - 14\) nên \(x = 14\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 14\) thay vào phương trình đầu ta được \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy ta có bảng:

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi số thóc của hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) \(\left( {x,y > 0} \right)\)

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình \(x + y = 3600\) (tấn thóc)

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được \(115\% x = 1,15x\) (tấn thóc)

Đội thứ hai làm vượt mức 12%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được \(112\% y = 1,12y\) (tấn thóc)

Nên năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc, ta có phương trình \(1,5x + 1,2y = 4095\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3600\\1,15x + 1,12y = 4095\end{array} \right.\)  hay  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2100\\y = 1500\end{array} \right.\left( {t/m} \right)\)

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được \(1,15.2100 = 2415\) tấn thóc.

Năm nay đội thứ hai thu hoạch được \(1,12.1500 = 1680\) tấn thóc.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi thời gian hoàn thành công việc của hai người thợ lần lượt là x,y (giờ) \(\left( {x,y > 0} \right)\)

1 giờ người thợ thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc

1 giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được \(\frac{1}{{16}}\) (công việc).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ làm được \(3.\frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) công việc

Người thứ hai làm trong 6 giờ làm được \(6.\frac{1}{y} = \frac{6}{y}\) công việc

Thì cả hai người hoàn thành được \(25\%  = \frac{1}{4}\) công việc nên ta có phương trình \(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{16}}\) từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y}} \right) - \left( {\frac{3}{x} + \frac{6}{y}} \right) = \frac{3}{{16}} - \frac{1}{4}\) hay \( - \frac{3}{y} =  - \frac{1}{{16}}\) nên \(y = 48\left( {t/m} \right).\)

Thay \(y = 48\) vào phương trình đầu ta có \(x = 24\left( {t/m} \right).\)

Vậy người thứ nhất cần làm trong 24 giờ, người thứ hai cần làm trong 48 giờ thì xong công việc.