Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

1. Ta có \(x + y = 3\) suy ra \(y = 3 - x\) thay vào phương trình \(2x - 3y = 1\) ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 3\left( {3 - x} \right) = 1\\2x - 9 + 3x = 1\\5x = 10\\x = 2\end{array}\)

2. Với \(x = 2\) suy ra \(y = 3 - 2 = 1.\) Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Từ phương trình \(x - 3y = 2\) ta có \(x = 2 + 3y.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \( - 2\left( {2 + 3y} \right) + 5y = 1\) hay \( - 4 - y = 1\) suy ra \(y = - 5.\) Từ đó \(x = 2 + 3.\left( { - 5} \right) = - 13.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 13; - 5} \right).\)

b) Từ phương trình \(4x + y = - 1\) ta có \(y = - 1 - 4x.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(7x + 2\left( { - 1 - 4x} \right) = 1\) hay \( - x - 2 = 1\) suy ra \(x = - 3.\) Từ đó \(y = - 1 - 4.\left( { - 3} \right) = 11.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 3;11} \right).\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Ta có \( - 2x + y = 3\) hay \(y = 3 + 2x\), thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}4x - 2\left( {3 + 2x} \right) = - 4\\0x - 6 = - 4\end{array}\)

\(0x = 2\) (vô lí) (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Ta có \(x + 3y = - 1\) hay \(x = - 1 - 3y\) (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}3\left( { - 1 - 3y} \right) + 9y = - 3\\0y - 3 = - 3\end{array}\)

\(0y = 0\) (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi \(y \in \mathbb{R}\) thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 1 - 3y;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Số cây cải trồng trong vườn là \(xy\)

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là \(x + 8\); số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là \(y - 3\), số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 108 = xy\) suy ra \( - 3x + 8y =  - 84.\)

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là \(x - 4\), nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là \(y + 2\) thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 64 = xy\) suy ra \(2x - 4y = 72.\)

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y =  - 84\\2x - 4y = 72\end{array} \right.\)

b) Ta có \( - 3x + 8y =  - 84\) suy ra \(x = \frac{{84 + 8y}}{3}\) thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(2.\frac{{84 + 8y}}{3} - 4y = 72\) suy ra \(\frac{4}{3}y = 16\) nên \(y = 12.\)

Với \(y = 12\) nên \(x = \frac{{84 + 8.12}}{3} = 60.\)

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây. 

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 6 + 3\\3x = 9\\x = 3\end{array}\)

2. Với \(x = 3\) thay vào phương trình thứ hai ta có: \(3 - 2y = 6\) nên \(y = \frac{{ - 3}}{2}.\)

Vậy \(\left( {3;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình. 

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \( - 2y =  - 8\) suy ra \(y = 4.\)

Thế \(y = 4\) vào phương trình đầu ta được \( - 4x + 3.4 = 0\) nên \( - 4x =  - 12\) suy ra \(x = 3.\)

Vậy\(\left( {3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {4x + 3y} \right) - \left( {x + 3y} \right) = 0 - 9\) nên \(3x =  - 9\) suy ra \(x =  - 3.\)

Thế \(x =  - 3\) vào phương trình số hai ta được \( - 3 + 3.y = 9\) nên \(3y = 12\) suy ra \(y = 4.\)

Vậy \(\left( { - 3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình. 

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 2 ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}12x + 9y = 18\\ - 12x + 20y =  - 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {12x + 9y} \right) + \left( { - 12x + 20y} \right) = 18 + \left( { - 8} \right)\) nên \(29y = 10\) suy ra \(y = \frac{{10}}{{29}}.\)

Thế \(y = \frac{{10}}{{29}}\) vào phương trình thứ nhất ta được \(4x + 3.\frac{{10}}{{29}} = 6\) nên \(4x = \frac{{144}}{{29}}\) suy ra \(x = \frac{{36}}{{29}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{36}}{{29}};\frac{{10}}{{29}}} \right)\). 

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \( - 2x + 2y = 4\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 4\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( { - 2x + 2y} \right) - \left( { - 2x + 2y} \right) = 4 - 8\) suy ra \(0x + 0y =  - 4\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 4\\ - 3x - 7y = 13;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{{11}}{5};y = \frac{{ - 14}}{5}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là\(\left( {\frac{{11}}{5}; - \frac{{14}}{5}} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1\\ - x - 1,5y = 1;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “No-solution”.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y - 6 = 0\\4x - y - 3 = 0.\end{array} \right.\)

Ta cần đưa hệ \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y - 6 = 0\\4x - y - 3 = 0\end{array} \right.\) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y = 6\\4x - y = 3\end{array} \right.\)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “Infinite Sol”.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.