Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hệ thức biểu thị: \(x + y = 17.\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hệ thức liên hệ giữa x và y qua các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm là \(3x + 10y = 100.\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Ta có \(2x - y = 5\) là một phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số \(\left( {3;1} \right)\) là một nghiệm của phương trình \(2x - y = 5\) vì \(2.3 - 1 = 5.\) (luôn đúng).

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a)     \(2x - 3y = 5;\)

Ta có \(y = \frac{{2x + 5}}{3} = \frac{{2x}}{3} + \frac{5}{3}\) nên mỗi cặp số \(\left( {x;\frac{{2x}}{3} + \frac{5}{3}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(2x - 3y = 5.\)

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(2x - 3y = 5.\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \frac{{ - 5}}{3} \Rightarrow A\left( {0;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \Rightarrow B\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)

Đường thẳng \(2x - 3y = 5\) đi qua hai điểm A và B

Các nghiệm là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng \(2x - 3y = 5.\)

b)    \(0x + y = 3;\)

Ta có \(0x + y = 3\) rút gọn thành \(y = 3\) nên phương trình có nghiệm là \(\left( {x;3} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(0x + y = 3\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\)

\(x = 1 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow B\left( {1;3} \right)\)

Đường thẳng \(0x + y = 3\) đi qua hai điểm A và B

Các nghiệm là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng \(0x + y = 3.\)

c)     \(x + 0y =  - 2.\)

Ta có \(x + 0y =  - 2\) rút gọn thành \(x =  - 2\) nên phương trình có nghiệm là \(\left( { - 2;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(x + 0y =  - 2\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x =  - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)\)

\(y = 1 \Rightarrow x =  - 2 \Rightarrow B\left( { - 2;1} \right)\)

Đường thẳng \(x + 0y =  - 2\) đi qua hai điểm A và B

Các nghiệm là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng \(x + 0y =  - 2.\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Thay \(\left( {0; - 2} \right)\) vào hệ đã cho ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.\left( { - 2} \right) = 4\\4.0 + 3\left( { - 2} \right) = 5\end{array} \right.\) (vô lí)

Nên \(\left( {0; - 2} \right)\) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay \(\left( {2; - 1} \right)\) vào hệ đã cho ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - 2.\left( { - 1} \right) = 4\\4.2 + 3\left( { - 1} \right) = 5\end{array} \right.\) (luôn đúng)

Nên \(\left( {2; - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Thay \(\left( {10;7} \right)\) vào hệ đã cho ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}10 + 7 = 17\\10.10 + 3.7 = 100\end{array} \right.\) (vô lí)

Nên \(\left( {10;7} \right)\) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay \(\left( {7;10} \right)\) vào hệ đã cho ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}7 + 10 = 17\\10.7 + 3.10 = 100\end{array} \right.\) (luôn đúng)

Nên \(\left( {7;10} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vậy số quả quýt là 7 quả, số quả cam là 10 quả.

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a)     Là phương trình bậc nhất vì phương trình có dạng \(ax + by = c\) và \(a = 5;b =  - 8\) thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

b)    Là phương trình bậc nhất vì phương trình có dạng \(ax + by = c\) và \(a = 4;b = 0\) thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

c)     Không là phương trình bậc nhất vì phương trình có hệ số \(a = 0;b = 0\) không thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

d)    Là phương trình bậc nhất vì phương trình có dạng \(ax + by = c\) và \(a = 0;b =  - 3\) thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a)      

Các cặp nghiệm của phương trình \(y = 2x - 1\) là: \(\left( { - 1; - 3} \right);\left( { - 0,5; - 2} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( {0,5;0} \right);\left( {1;1} \right);\left( {2;3} \right).\)

b)    Ta có: \(2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1\) nên cặp số \(\left( {x;2x - 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là nghiệm tổng quát của phương trình \(2x - y = 1.\)

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a)     \(2x - y = 3\)

Ta có \(y = 2x - 3\) nên mỗi cặp số \(\left( {x;2x - 3} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(2x - y = 3.\)

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(2x - y = 3\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 3 \Rightarrow A\left( {0; - 3} \right)\)

\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\)

Đường thẳng \(2x - y = 3\) đi qua hai điểm A và B

b)    \(0x + 2y =  - 4\)

Ta có \(0x + 2y =  - 4 \Rightarrow y =  - 2\) nên mỗi cặp số \(\left( {x; - 2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(0x + 2y =  - 4\)

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(0x + 2y =  - 4\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 2} \right)\)

\(x = 1 \Rightarrow y =  - 2 \Rightarrow B\left( {1; - 2} \right)\)

Đường thẳng \(0x + 2y =  - 4\) đi qua hai điểm A và B

c)     \(3x + 0y = 5\)

Ta có \(3x + 0y = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) nên mỗi cặp số \(\left( {\frac{5}{3};y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý là một nghiệm của phương trình \(3x + 0y = 5\)

Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(3x + 0y = 5\)

Cho \(y = 1 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \Rightarrow A\left( {\frac{5}{3};1} \right)\)

\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \Rightarrow B\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)

Đường thẳng \(3x + 0y = 5\) đi qua hai điểm A và B

Hà Quang Minh
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a)     Hệ phương trình đã cho là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(2x =  - 6\) và \(5x + 4y = 1\) là hai phương trình bậc nhất 2 ẩn thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

b)    Thay \(\left( { - 3;4} \right)\) vào hệ phương trình ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3} \right) =  - 6\\5.\left( { - 3} \right) + 4.4 = 1\end{array} \right.\) (luôn đúng)

Vậy \(\left( { - 3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.