Bài tập cuối chương VIII

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \(EFH\) và tam giác \(MNH\) có:

\(\widehat {EFH} = \widehat {MNH} = 76^\circ \) (giả thuyết)

\(\widehat {EHF} = \widehat {NHM} = 90^\circ \) (giải thuyết)

Suy ra, \(\Delta EFH\backsim\Delta MNH\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{EH}}{{MH}} = \frac{{FH}}{{NH}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{{12}}{{MH}} = \frac{3}{5} \Rightarrow MH = 12.5:3 = 20\).

Vậy khoảng cách \(HM\) của mặt hồ là 20m.

b) Xét tam giác \(MNI\) và tam giác \(EFI\) có:

\(\widehat {MIN} = \widehat {EIF}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {NMI} = \widehat {FEI} = 90^\circ \) (giải thuyết)

Suy ra, \(\Delta MNI\backsim\Delta EFI\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{MI}}{{EI}} = \frac{{MN}}{{EF}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{{50}}{{17}} = \frac{{MN}}{{15}} \Rightarrow MN = 50.15:17 = \frac{{750}}{{17}}\).

Vậy khoảng cách \(MN\) của mặt hồ là sấp sỉ 44m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là những góc bằng nhau. Do đó, \(\widehat {NEM} = \widehat {BCA}\).

Xét tam giác \(NEM\) và tam giác \(BCA\) có:

\(\widehat {NEM} = \widehat {BCA}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {NME} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (giải thuyết)

Suy ra, \(\Delta NEM\backsim\Delta BCA\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{EM}}{{CA}} = \frac{{MN}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{{1,5}}{6} = \frac{2}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{2.6}}{{1,5}} = 8\).

Vậy chiều cao của ngôi nhà là 8m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

- Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(KDF\) có:

\(\widehat F\) (chung)

\(\widehat {EDF} = \widehat {DKF} = 90^\circ \) (giải thuyết)

Suy ra, \(\Delta DEF\backsim\Delta KDF\) (g.g)

Suy ra, \(\widehat E = \widehat {KDF}\) (hai góc tương ứng).

- Xét tam giác \(DEK\) và tam giác \(FDK\) có:

\(\widehat E = \widehat {KDF}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {EKD} = \widehat {FKD} = 90^\circ \) (giải thuyết)

Suy ra, \(\Delta DEK\backsim\Delta FDK\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{DK}}{{FK}} = \frac{{EK}}{{DK}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(D{K^2} = EK.FK = 90.160 = 14400 \Rightarrow DK = \sqrt {14400}  = 120\).

Vậy khoảng cách \(DK = 120m\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

 

a) Vì \(BE\)là đường cao nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \); vì \(CF\)là đường cao nên \(\widehat {AFC} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AEB\) và tam giác \(AFC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AEB\backsim\Delta AFC\) (g.g).

b) Vì \(\Delta AEB\backsim\Delta AFC\) nên \(\widehat {ACF} = \widehat {ABE}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {ECH} = \widehat {FBH}\).

Xét tam giác \(HEC\) và tam giác \(HFB\) có:

\(\widehat {ECH} = \widehat {FBH}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {CEH} = \widehat {BFH} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta HEC\backsim\Delta HFC\) (g.g).

Suy ra, \(\frac{{HE}}{{HF}} = \frac{{HC}}{{HB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}\) (điều phải chứng minh).

c) Xét tam giác \(HEF\) và tam giác \(HCB\) có:

\(\widehat {FHE} = \widehat {BHC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta HEF\backsim\Delta HCB\) (c.g.c).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).

Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)

Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).

b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(AH\) là đường cao nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(CBA\) có:

\(\widehat B\) (chung)

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta ABH\backsim\Delta CBA\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(A{B^2} = BH.BC\) .

b)

-  Vì \(HE\) vuông góc với \(AB\) nên \(\widehat {HEA} = \widehat {HEB} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AHE\) và tam giác \(ABH\) có:

\(\widehat {HAE}\) (chung)

\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AHE\backsim\Delta ABH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(A{H^2} = AB.AE\) . (1)

- Vì \(HF\) vuông góc với \(AC\) nên \(\widehat {HFC} = \widehat {HFA} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AHF\) và tam giác \(ACH\) có:

\(\widehat {HAF}\) (chung)

\(\widehat {AFH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AHF\backsim\Delta ACH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AH}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(A{H^2} = AF.AC\) . (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(AE.AB = AF.AC\) (điều phải chứng minh)

c) Vì \(AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\).

Xét tam giác \(AFE\) và tam giác \(ABC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AFE\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).

d) Vì \(HF\) vuông góc với \(AC\) nên \(CF \bot HI\), do đó, \(\widehat {CFH} = \widehat {CFI} = 90^\circ \).

Vì \(IN \bot CH \Rightarrow \widehat {CBI} = \widehat {HNI} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(HFC\) và tam giác \(HNI\) có:

\(\widehat {CHI}\) (chung)

\(\widehat {HFC} = \widehat {HNI} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta HFC\backsim\Delta HNI\) (g.g).

Suy ra, \(\frac{{HF}}{{HN}} = \frac{{HC}}{{HI}}\) (hai cặp cạnh tương ứng cùng tỉ lệ)

Do đó, \(\frac{{HF}}{{HC}} = \frac{{HN}}{{HI}}\).

Xét tam giác \(HNF\) và tam giác \(HIC\) có:

\(\widehat {CHI}\) (chung)

\(\frac{{HF}}{{HC}} = \frac{{HN}}{{HI}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta HNF\backsim\Delta HIC\) (c.g.c).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(AMC\) có:

\(\widehat E = \widehat M = 36^\circ \)

\(\widehat F = \widehat C = 76^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta DEF\backsim\Delta AMC\) (g.g).

b) Đổi 25m = 2500 cm.

Dùng thước đo độ dài cạnh \(DF\) ta được độ dài \(DF\) là 2,6cm.

Vì \(\Delta DEF\backsim\Delta AMC\) nên \(\frac{{DF}}{{EF}} = \frac{{AC}}{{MC}}\) (hai cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{{2,6}}{4} = \frac{{AC}}{{2500}} \Rightarrow AC = \frac{{2,6.2500}}{4} = 1625\).

Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(C\) là 1625 cm hay 16,25m.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)