Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Hướng dẫn giải

Ta có điều kiện hiểu nhiên \(x > 0\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 1}  = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 1} \\ \Rightarrow {x^2} - 1 = \frac{1}{4}\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{3}{4}{x^2} - \frac{5}{4} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{5}{3}} \)

Thử lại, kết hợp điều kiện của x ta thấy \(x = \sqrt {\frac{5}{3}} \) thỏa mãn phương trình.

Vậy khi \(x = \sqrt {\frac{5}{3}} \) thì \(OA = \frac{1}{2}OC\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11}  = \sqrt { - {x^2} + 3} \) ta thấy không thỏa mãn vì dưới dấu căn là \( - 1\) không thỏa mãn

Vậy \(x =  2\) không là nghiệm của phương trình do đó lời giải như trên là sai.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} - 58x + 1}  = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} - 58x + 1 = 10{x^2} - 11x - 19\\ \Rightarrow 21{x^2} - 47x + 20 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\)

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý khi giải: sau khi bình phương hai vế thì các bước giải tiếp theo chỉ được sử dụng dấu suy ra không được sử dụng dấu tương đương (vì tập nghiệm của chúng có thể không giống nhau)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Thay nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu ta có:

+) Thay \(x = 1\) vào phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x\) ta thấy thảo mãn phương trình

+) Thay \(x =  - \frac{1}{2}\) vào \(\sqrt { - {x^2} + x + 1}  = x\) ta thấy không thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\), suy ra lời giải như trên là sai.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9\)

\( \Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0\)

\( \Rightarrow x = 5\) và \(x = 10\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41}  = 2x + 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\) và \(x = 10\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh OB là x cm \(\left( {x > 0} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(AB = BC = OB - 1 = x - 1\)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OAB và OBC ta có:

\(OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \)

\(OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{x^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2x - 1} \)

a) \(OC = 3OA \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = 3\sqrt {2x - 1} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 2x + 1 = 9\left( {2x - 1} \right)\\ \Rightarrow 2{x^2} - 20x + 10 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \)\(x = 5 - 2\sqrt 5 \) và \(x = 5 + 2\sqrt 5 \)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = 3\sqrt {2x - 1} \) ta thấy cả hai đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi \(OB = 5 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(OB = 5 + 2\sqrt 5 \)thì \(OC = 3OA\)

b) \(OC = \frac{5}{4}OB \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = \frac{5}{4}x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 2x + 1 = \frac{{25}}{{16}}{x^2}\\ \Rightarrow \frac{7}{{16}}{x^2} - 2x + 1 = 0\end{array}\)\(\)

\( \Rightarrow x = \frac{4}{7}\) hoặc \(x = 4\)                

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  = \frac{5}{4}x\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi \(OB = \frac{4}{7}\) hoặc \(OB = 4\) (cm) thì  \(OC = \frac{5}{4}OB\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {11{x^2} - 14x - 12}  = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 11{x^2} - 14x - 12 = 3{x^2} + 4x - 7\\ \Rightarrow 8{x^2} - 18x - 5 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - \frac{1}{4}\) và \(x = \frac{5}{2}\)

Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 14x - 12}  = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7} \) ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \frac{5}{2}\) thảo mãn phương trình

Vậy nhiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{5}{2}\)

b) \(\sqrt {{x^2} + x - 42}  = \sqrt {2x - 30} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + x - 42 = 2x - 3\\ \Rightarrow {x^2} - x - 12 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 3\) và \(x = 4\)

Thay vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + x - 42}  = \sqrt {2x - 30} \)  ta thấy  không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c) \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4.\left( {{x^2} - x - 1} \right) = {x^2} + 2x + 5\\ \Rightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 1\) và \(x = 3\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \) ta thấy cả hai nghiệm đếu thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình \(2\sqrt {{x^2} - x - 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \) là \(x =  - 1\) và \(x = 3\)

d) \(3\sqrt {{x^2} + x - 1}  - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\sqrt {{x^2} + x - 1}  = \sqrt {7{x^2} + 2x - 5} \\ \Rightarrow 9.\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 7{x^2} + 2x - 5\\ \Rightarrow 2{x^2} + 7x - 4 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 4\) và \(x = \frac{1}{2}\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(3\sqrt {{x^2} + x - 1}  - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5}  = 0\) ta thấy chỉ có nghiệm \(x =  - 4\) thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình trên là \(x =  - 4\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 9\\ \Rightarrow {x^2} + 3x - 8 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\)

b) \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - x - 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - x - 4 = {x^2} + 4x + 4\\ \Rightarrow 5x =  - 8\\ \Rightarrow x =  - \frac{8}{5}\end{array}\)

Thay \(x =  - \frac{8}{5}\) và phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\) ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - \frac{8}{5}\)

c) \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {12 - 2x}  = x - 2\\ \Rightarrow 12 - 2x = {\left( {x - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow 12 - 2x = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - 2\) và \(x = 4\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\) thì thấy chỉ có \(x = 4\) thỏa mãn

Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

d) Ta có biểu thức căn bậc hai luôn không âm nên \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  =  - 5\) (vô lí)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Đặt độ dài cạnh AB là x (\(x > 0\))

Theo giả thiết ta có độ dài \(AC = AB + 2 = x + 2\)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ta có

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \)

b) Chu vi của tam giác là \(C = AB + AC + BC\)

\( \Rightarrow C = x + \left( {x + 2} \right) + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4}  = 2x + 2 + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \)

Theo giả thiết ta có

\(\begin{array}{l}C = 24 \Leftrightarrow 2x + 2 + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4}  = 24\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 4x + 4}  = 22 - 2x\\ \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = {\left( {22 - 2x} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = 4{x^2} - 88x + 484\\ \Rightarrow 2{x^2} - 92x + 480 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = 6\) hoặc \(x = 40\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}  = 22 - 2x\) ta thấy chỉ có  \(x = 6\) thỏa mãn phương trình

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là \(AB = 6;AC = 8\) và \(BC = 10\)(cm)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Đặt độ dài của MO là x km \(\left( {x > 0} \right)\)

Ta có: \(\widehat {MOA} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (hai góc bù nhau) \( \Rightarrow \widehat {MOA} = 120^\circ \)

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ta tính được:

+) Khoảng cách từ tàu đến B là \(MB = \sqrt {{x^2} + {2^2} - 2.2.x.\cos 60^\circ }  = \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \)

+) Khoảng cách từ tàu đến A là \(MA = \sqrt {{x^2} + {1^2} - 2.1.x.\cos 120^\circ }  = \sqrt {{x^2} + x + 1} \)

b) Theo giải thiết ta có phương trình \(MB = \frac{4}{5}MA \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 2x + 4 = \frac{{16}}{{25}}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{9}{{25}}{x^2} - \frac{{66}}{{25}}x + \frac{{84}}{{25}} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x \simeq 1,64\) và \(x \simeq 5,69\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi  \(x \simeq 1,64\) hoặc \(x \simeq 5,69\) thì khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A

c) Đổi 500 m = 0,5 km

Theo giả thiết ta có phương trình sau:

\(\begin{array}{l}MB = MO - 0,5 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = x - 0,5\\ \Rightarrow {x^2} - 2x + 4 = {\left( {x - 0,5} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - 2x + 4 = {x^2} - x + \frac{1}{4}\\ \Rightarrow x = \frac{{15}}{4}\end{array}\)

Thay \(x = \frac{{15}}{4}\) vào phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = x - 0,5\) ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy khi \(x = \frac{{15}}{4}\) thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)