Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\widehat {EBA} = \widehat {ACD}\) (giả thuyết)

\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta ABE\backsim\Delta ACD\) (g.g)

Vì \(\Delta ABE\backsim\Delta ACD\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{CD}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Thay số, \(\frac{{20}}{{AC}} = \frac{{25}}{{15}} \Rightarrow AC = \frac{{20.15}}{{25}} = 12\)cm.

Áp dụng định lí Py – ta – go cho \(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{E^2} = A{E^2} + A{B^2} \Leftrightarrow A{E^2} = B{E^2} - A{B^2} = {25^2} - {20^2} = 225 \Rightarrow AE = \sqrt {225}  = 15\)cm.

Độ dài \(CE\) là:

15 – 12 = 3cm

Vậy \(CE = 3cm.\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}JC \bot AE\\BH \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow JC//BH\). Vì \(JC//BH \Rightarrow \widehat {HBA} = \widehat {JCA}\) (hai góc đồng vị)

hay \(\widehat {HBA} = \widehat {DCB}\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {HBA} = \widehat {DCB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AHB} = \widehat {DBC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta ABH\backsim\Delta DCB\) (g.g)

b) Vì  (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CDB}\).

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {CDB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta AEB\backsim\Delta DCB\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BA}}{{BD}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Hay \(\frac{{BC}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\) (điều phải chứng minh).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Giả sử, ta biểu diễn người quan sát, cái cọc, tòa nhà có dạng như hình vẽ.

Chiều cao người quan sát là \(CB = 1,5m\); chiều cao cái cọc là \(HF = 3m\); khoảng cách từ người đến cọc là \(HG = 1,2m\); khoảng cách từ tòa nhà đến cọc là \(BH = 27m\). Chiều cao tòa nhà là \(AB\).

Vì tứ giác \(GHBC\) là hình chữ nhật nên \(GC = HB = 1,2m\); Vì tứ giác \(GHAD\) là hình chữ nhật nên \(AH = DG = 27m;GH = AD = 1,5m\).

Chiều dài đoạn \(CD\) là: \(DC = DG + GC = 27 + 1,2 = 28,2m\).

Độ dài đoạn \(GF\) là: \(GF = FH - GH = 3 - 1,5 = 1,5m\)

Xét \(\Delta DEC\) và \(\Delta GFC\) có:

\(\widehat C\) chung

\(\widehat {EDC} = \widehat {FGC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta DEC\backsim\Delta GFC\) (g.g)

Vì \(\Delta DEC\backsim\Delta GFC\) nên \(\frac{{DC}}{{GC}} = \frac{{DE}}{{GF}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Thay số, \(\frac{{28,2}}{{1,2}} = \frac{{DE}}{{1,5}} \Rightarrow DE = \frac{{28,2.1,5}}{{1,2}} = 35,25m\)

Chiều cao của tòa nhà là:

\(AD + DE = 35,25 + 1,5 = 36,75m\)

Vậy chiều cao tòa nhà là 36,75m.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có:

\(\widehat {HAM}\) chung (do \(\widehat {HAM}\) cũng là \(\widehat {HAB}\))

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HM \bot AB\) và \(AH\) là đường cao)

Do đó, \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\) (g.g).

b) Vì \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra \(AM.AB = A{H^2}\) (1)

- Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {HAN}\) chung (do \(\widehat {HAN}\) cũng là \(\widehat {HAC}\))

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AC\) và \(AH\) là đường cao)

Do đó, \(\Delta ANH\backsim\Delta AHC\) (g.g).

Vì \(\Delta ANH\backsim\Delta AHC\) nên \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(AM.AB = AN.AC\)(điều phải chứng minh).

c) Từ câu b ta có:

\(AM.AB = AN.AC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta ANM\)và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ANM\backsim\Delta ABC\)(c.g.c)

d) Áp dụng định lí Py- ta – go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \Rightarrow BC = 15cm\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\)

\( \Rightarrow AH.BC = AB.AC\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2cm\).

Ta có: \(A{H^2} = AM.AB = AM.9 = 7,{2^2} \Rightarrow AM = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76cm\)

\(A{H^2} = AN.AC = AN.12 = 7,{2^2} \Rightarrow AN = \frac{{7,{2^2}}}{{12}}4,32cm\).

Diện tích tam giác vuông \(AMN\) là:

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN = \frac{1}{2}.5,76.4,32 = 12,4416c{m^2}\).

Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là 12,4416cm².

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)