Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Hướng dẫn giải

Cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là như nhau. Do đó, \(\widehat {EFD} = \widehat {BCA}\).

Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\widehat {EFD} = \widehat {BCA}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta ABC\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{FD}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{1,8}}{6} = \frac{{2,4}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{6.2,4}}{{1,8}} = 8\).

Vậy cột cờ \(AB\) cao 8m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) ta có:

\(\widehat B = \widehat N\) (giả thuyết)

\(\widehat A = \widehat M = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta MNP\) (g.g)

b) Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(MNP\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\) (giả thuyết)

\(\widehat A = \widehat M = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta MNP\) (c.g.c).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì \(DH \bot EF \Rightarrow \widehat {DHE} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(DEH\) và tam giác \(FDE\) ta có:

\(\widehat E\) chung

\(\widehat {DHE} = \widehat {EDF} = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta DEH\backsim\Delta FED\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{EH}}{{DE}} \Rightarrow D{E^2} = EF.EH\) (điều phải chứng minh).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là như nhau. Do đó, \(\widehat {EFD} = \widehat {BCA}\).

Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\widehat {EFD} = \widehat {BCA}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta ABC\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{FD}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{1,8}}{6} = \frac{{2,4}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{6.2,4}}{{1,8}} = 8\).

Vậy cột cờ \(AB\) cao 8m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lí Py – ta – go)

\( \Leftrightarrow {6^2} + A{C^2} = {10^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Leftrightarrow AC = 8\).

Xét tam giác \(DEF\) vuông tại \(D\) ta có:

\(D{E^2} + D{F^2} = E{F^2}\) (định lí Py – ta – go)

\( \Leftrightarrow {9^2} + D{F^2} = {15^2} \Leftrightarrow D{F^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Leftrightarrow DF = 12\).

b) Tỉ số:

\(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3};\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\); \(\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}\).

Do đó, \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}\).

c) Xét tam giác\(ABC\) và tam giác\(DEF\) có:

\(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta DEF\) (c.c.c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tỉ số:

\(\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\).

Xét tam giác\(DEF\) và tam giác\(ABC\) có:

\(\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{3}{4}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta ABC\).

Tỉ số:

\(\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{3} = 2;\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\).

Vì \(\frac{{DE}}{{MN}} \ne \frac{{EF}}{{NP}}\) nên hai tam giác \(DEF\) và \(MNP\) không đồng dạng với nhau.

Tỉ số:

\(\frac{{DE}}{{RS}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\frac{{EF}}{{ST}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}\).

Vì \(\frac{{DE}}{{RS}} \ne \frac{{EF}}{{ST}}\) nên hai tam giác \(DEF\) và \(SRT\) không đồng dạng với nhau.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) nên \(\widehat B = \widehat N\) (hai góc tương ứng).

Vì \(MK\) là đường cao nên \(\widehat {MKN} = 90^\circ \);Vì \(AH\) là đường cao nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta MNK\) và \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat B = \widehat N\) (chứng minh trên)

\(\widehat {MKN} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\) (g.g)

Vì \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\) nên ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NK}}{{BH}} = \frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow \frac{{MK}}{{AH}} = k\).

b) Vì \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) nên \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = k\)

\( \Rightarrow \frac{{NP}}{{BC}} = k \Leftrightarrow NP = kBC\)

Vì \(\frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow MK = kAH\)

 Diện tích tam giác \(MNP\) là:

\({S_1} = \frac{1}{2}.MK.NP\) (đvdt)

 Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_2} = \frac{1}{2}.AH.BC\) (đvdt)

Ta có: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}.MK.NP}}{{\frac{1}{2}.AH.BC}} = \frac{{kAH.kBC}}{{AH.BC}} = {k^2}\) (điều phải chứng minh)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông \(PQR\) có:

\(\widehat P + \widehat Q + \widehat R = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat P + 90^\circ  + 42^\circ  = 180^\circ  \Rightarrow \widehat P = 180^\circ  - 90^\circ  - 42^\circ  = 48^\circ \)

Xét tam giác vuông \(UVT\) có:

\(U{V^2} = U{T^2} + V{T^2} \Leftrightarrow {6^2} = U{T^2} + {4^2} \Rightarrow U{T^2} = {6^2} - {4^2} = 20 \Rightarrow UT = 2\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông \(DEF\) có:

\(E{F^2} = D{E^2} + D{F^2} \Leftrightarrow E{F^2} = {9^2} + {12^2} \Rightarrow E{F^2} = 225 \Rightarrow EF = 15\)

Xét tam giác vuông \(MNK\) có:

\(K{N^2} = K{M^2} + M{N^2} \Leftrightarrow {9^2} = K{M^2} + {6^2} \Rightarrow K{M^2} = {9^2} - {6^2} = 45 \Rightarrow KM = 3\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông \(IGH\) có:

\(I{H^2} = H{G^2} + I{G^2} \Leftrightarrow I{H^2} = 7,{5^2} + {10^2} \Rightarrow I{H^2} = 156,25 \Rightarrow IH = 12,5\)

- Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta QPR\) có:

\(\widehat B = \widehat P = 48^\circ \) (chứng minh trên)

\(\widehat A = \widehat Q = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta QPR\) (g.g)

- Xét \(\Delta UTV\) và \(\Delta KMN\) có:

\(\widehat T = \widehat M = 90^\circ \)

\(\frac{{UT}}{{KM}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 }} = \frac{2}{3};\frac{{VT}}{{MN}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(\Delta UTV\backsim\Delta KMN\) (c.g.c)

- Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta GHI\) có:

\(\widehat D = \widehat G = 90^\circ \)

\(\frac{{HG}}{{DE}} = \frac{{7,5}}{9} = \frac{5}{6};\frac{{IG}}{{DF}} = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta GHI\) (c.g.c).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)  Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta HDF\) có:

\(\widehat F\) chung

\(\widehat {EDF} = \widehat {DHF} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta HDF\) (g.g)

b) Vì \(\Delta DEF\backsim\Delta HDF\) nên \(\frac{{DF}}{{HF}} = \frac{{FE}}{{DF}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

\( \Rightarrow D{F^2} = FH.FE\).

c) Theo câu b ta có:

\(D{F^2} = FH.FE\)

Thay số, \(D{F^2} = 5,4.15 = 81 \Rightarrow DF = \sqrt {81}  = 9cm\)

Vậy \(DF = 9cm\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta MEF\) và \(\Delta MAB\) có:

\(\widehat M\) chung

\(\widehat {MFE} = \widehat {MBA} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta MEF\backsim\Delta MAB\) (g.g)

Vì  nên \(\frac{{MF}}{{MB}} = \frac{{FE}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Thay số, \(\frac{2}{{20}} = \frac{{1,65}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{1,65.20}}{2} = 16,5\)

Vậy tòa tháp cao 16,5m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)