Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hướng dẫn giải

Vì \(0 >  - 0 - 2\) nên điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(y <  - x - 2\)

Miền nghiệm của BPT \(y <  - x - 2\) là miền được tô màu vàng và xanh.

Vì \(0 < 0 + 1\) nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(y < x + 1\)

Miền nghiệm của BPT \(y < x + 1\) là miền được tô màu xanh và tím.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y <  - x - 2\\y < x + 1\end{array} \right.\) là miền màu xanh (không kể các bờ d, d’)

Nói cách khác nhãn đã cho là nhãn của miền màu xanh.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)

Để quy hoạch x sào đất trồng cà tím, cần \(200\,000.x\)(đồng)

Để quy hoạch y sào đất trồng cà chua, cần \(100\,000.y\)(đồng)

Tổng số tiền để mua hạt giống là \(200{\rm{ }}000.x + 100{\rm{ }}000.y\) (đồng), tối đa là 9 triệu đồng nên ta có bất phương trình: \(0,2x + 0,1y \le 9\)

Ngoài ra số sào đất là số không âm nên \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\)

b) + Cặp số (20; 40) thỏa mãn cả 3 bất phương trình trên vì \(0,2.20 + 0,1.40 = 8 < 9\).

+ Cặp số (40; 20) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì \(0,2.40 + 0,1.20 = 10 > 9\).

+ Cặp số (-30; 10) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì \( - 30 < 0\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 1 \le 0\\2x - y + 2 \ge 0\end{array} \right.\)

Cặp số \((0;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì \(\left\{ \begin{array}{l}3.0 + 0 - 1 =  - 1 \le 0\\2.0 - 0 + 2 = 2 \ge 0\end{array} \right.\)

Cặp số \((0; - 1)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì \(\left\{ \begin{array}{l}3.0 + ( - 1) - 1 =  - 2 \le 0\\2.0 - ( - 1) + 2 = 3 \ge 0\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}y - 1 < 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.\)

Cặp số \((0;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 1 =  - 1 < 0\\0 + 2 = 2 \ge 0\end{array} \right.\)

Cặp số \((1;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 1 =  - 1 < 0\\1 + 2 = 3 \ge 0\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \le 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Cặp số \((0;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 + 0 - 3 =  - 3 \le 0\\ - 2.0 + 0 + 3 = 3 \ge 0\\0 \ge 0\\0 \ge 0\end{array} \right.\)

Cặp số \((0;1)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 + 1 - 3 =  - 2 \le 0\\ - 2.0 + 1 + 3 = 4 \ge 0\\0 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Vẽ đường thẳng \(d:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(0;3)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0 + 0 - 3 =  - 3 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng \(d': - 2x + y + 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(1; - 1)\) và \(B\left( {2;1} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \( - 2.0 + 0 + 3 = 3 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d'\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

 

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Gọi x là số lít nước cam loại A, y là là số lít nước cam loại B nên pha. Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

 

Miền nghiệm là miền không gạch chéo (miền ngũ giác OABCD) với các đỉnh O (0;0), A (0;6), B (4;5), C(6;3), D(7;0)

Doanh thu F=60x+80y (nghìn đồng)

Ta có:

Tại O(0;0): F(0;0)=60.0+80.0=0

Tại A(0;6): F(0;6)=60.0+80.6=480

Tại B(4;5): F(4;5)=60.4+80.5=640

Tại C(6;3): F(6;3)=60.6+80.3=600

Tại D(7;0): F(7;0)=60.7+80.0=420

=> GTLN của F bằng 640 (nghìn đồng) tại x=4 và y=5.

Vậy người đó nên pha chế 4l nước cam loại A và 5l nước cam loại B để có doanh thu cao nhất.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

Miền không gạch chéo (bao gồm cạnh AB, tia Ay, Bx) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

Miền không gạch chéo (không bao gồm cạnh, các bờ) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

 c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

 Miền không gạch chéo (miền tứ giác ABCD, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Gọi x là số thùng thuốc trừ sâu loại A, y là số thùng thuốc trừ sâu loại B mà nhà máy sản xuất mỗi ngày. Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-  Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)

-  sản lượng \(C{O_2}\) tối đa là 75 kg nên \(0,25x + 0,5y \le 75\)

-  sản lượng \(S{O_2}\) tối đa là 90 kg nên \(0,6x + 0,2y \le 90\)

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,25x + 0,5y \le 75\\0,6x + 0,2y \le 90\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

 b) Nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tức là \(x = 100,y = 80.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}0,25.100 + 0,5.80 = 65 \le 75\\0,6.100 + 0,2.80 = 76 \le 90\\100 \ge 0\\80 \ge 0\end{array} \right.\) nên cặp số (100; 80) là một nghiệm của hệ bất phương trình a).

Do đó việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.

c) Vì \(0,25.60 + 0,5.160 = 95 > 75\)nên việc sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày vượt quá sản lượng \(C{O_2}\) tối đa.

Vậy việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp với quy định.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-  Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)

-  Tổng số giờ làm không quá 10 giờ nên \(2x + y \le 10\)

Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 10\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.(x,y \in \mathbb{N})\)

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-  Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)

-  Tổng số giờ vẽ không quá 30 giờ nên \(2x + 3y \le 30\)

-  Số tấm thiệp tối thiểu là 12 tấm nên \(x + y \ge 12\)

Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 30\\x + y \ge 12\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.(x,y \in \mathbb{N})\)

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tam giác ABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

Với các đỉnh  \(A(6;6),\)\(B(15;0),\)\(C(12;0).\)

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: \(F = 10x + 20y\)

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác:

Tại \(A(6;6):\)\(F = 10.6 + 20.6 = 180\)

Tại \(B(15;0):\)\(F = 10.15 + 20.0 = 150\)

Tại \(C(12;0):\)\(F = 10.12 + 20.0 = 120\)

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại \(A(6;6).\)

Vậy bạn học sinh đó cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại to để có được nhiều tiền nhất.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)