Bài 11. Hình thang cân

Hướng dẫn giải

Hình thang cân ABCD (AB //CD) nên ta có:

\(\widehat A = \widehat B;\widehat C = \widehat D = {40^o}\)

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}\)

Khi đó: \(\widehat A + \widehat A + {40^o} + {40^o} = {360^o}\)

Hay: \(2\widehat A + {80^o} = {360^o}\)

Suy ra: \(2\widehat A = {360^o} - {80^o} = {280^o}\)

Do đó: \(\widehat A = {140^o}\) nên \(\widehat B = {140^o}\)

Vậy: \(\widehat A = {140^o};\widehat B = {140^o};\widehat C = {40^o};\widehat D = {40^o}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\)(hai góc so le trong).

Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.

Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong).

Xét ∆AHI và ∆IBA có:

\(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\) (chứng minh trên);

Cạnh AI chung;

 \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong).

Do đó ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên \(\widehat C = \widehat D\).

Vì ∆AHD và ∆BIC có:

\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) và \(\widehat C = \widehat D\) nên \(90^o - \widehat C = 90^o - \widehat {BIC} \Leftrightarrow \widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) 

Xét ∆AHD và ∆BIC có:

\(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);

\(AH = BI\) (chứng minh trên

\(\widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆AHD = ∆BIC (góc - cạnh - góc).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có \(\widehat A = \widehat {{D_1}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

Mặt khác hình thang ABCD có \(\widehat A = \widehat B\) nên ABCD là hình thang cân.

Do đó AD = BC (đpcm).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\)

Xét ∆ACD và ∆BDC có

AD = BC (chứng minh trên);

\(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\) (chứng minh trên);

Cạnh CD chung.

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC

Suy ra DECB là hình thang.

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\).

Hình thang DECB có \(\widehat B = \widehat C\) nên tứ giác DECB là hình thang cân.

b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.

Do đó BE = CD (đpcm).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Học sinh vẽ hình theo các bước đã nêu ở đề bài.

b) Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.

Do đó ABCD là hình thang cân.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta cắt một mảnh giấy hình thang cân ABCD bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy.

Lật hình thang AMND rồi ghép với hình thang MBCN dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu, khi đó ta được một hình mới.

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên AB // CD suy ra MN’ // M’N.

Do đó MN’M’N là hình thang.

Vì AB // CD nên \(\widehat {AMN} = \widehat {MNC}\) (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {CM'N'}\)(theo giả thiết)

\( \Rightarrow \widehat {MNC} = \widehat {CM'N}\)

Mà hai góc này là hai góc kề một đáy nên suy ra MN’M’N là hình thang cân.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Để hình thang ABCD là hình thang cân thì \(\widehat A = \widehat B = {120^o};\widehat C = \widehat D = {80^o}\)

Suy ra \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D\)=120°+120°+80°+80°=400°>360°(không thỏa mãn định lí tổng bốn góc trong một tứ giác).

Khi đó, ABCD không phải là tứ giác.

Do đó ABCD cũng không phải là hình thang cân.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆DOE và ∆COE có:

\(\widehat {O{\rm{D}}E} = \widehat {OC{\rm{E}}} = {90^o}\) (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)

EC = ED (giả thiết)

Cạnh OE chung

Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác OCD cân tại O nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\)

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cặp góc so le trong).

Do đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (vì \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.

Do OA = OB, OC = OD nên OA + OC = OB + OD nên AC = BD

Nên ABCD là hình thang cân theo dấu hiệu nhận biết "nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân".

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Cách vẽ hình thang cân ABCD có đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm:

- Vẽ cạnh CD = 4 cm.

- Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm) và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A.

- Dùng compa vẽ hai đường tròn (C; 3 cm) và (D; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm B.

- Nối AB, AD, BC ta được hình thang ABCD

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)