câu 1) a) điều kiện của \(x\) để \(A\) xác định là : \(x\ge0;x\ne9;x\ne25\)
b) ta có : \(A=\left(\dfrac{x-5\sqrt{x}}{x-25}-1\right):\left(\dfrac{25-x}{x+2\sqrt{x}-15}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}-1\right):\left(\dfrac{\left(5-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}-1\right):\left(\dfrac{5-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\dfrac{-5}{\sqrt{x}+5}\right):\left(\dfrac{-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+5}\right)=\dfrac{5}{\sqrt{x}+5}.\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\)
c) ta có : \(A\) nguyên \(\Leftrightarrow\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\) nguyên \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\) là ước của \(5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+3=5\\\sqrt{x}+3=-5\\\sqrt{x}+3=1\\\sqrt{x}+3=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=2\left(N\right)\\\sqrt{x}=-8\left(L\right)\\\sqrt{x}=-2\left(L\right)\\\sqrt{x}=-4\left(L\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
vậy \(x=4\)
d) ta có : \(B=\dfrac{A\left(x+16\right)}{5}=\dfrac{\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\left(x+16\right)}{5}=\dfrac{5\left(x+16\right)}{5\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}\)
\(\Leftrightarrow B\left(\sqrt{x}+3\right)=x+16\Leftrightarrow B\sqrt{X}+3B=x+16\)
\(\Leftrightarrow x+16-B\sqrt{x}-3B=0\Leftrightarrow x-B\sqrt{x}+16-3B=0\)
vì phương trình này luôn có nghiệm nên \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow B^2-4\left(16-3B\right)\ge0\Leftrightarrow B^2+12B-64\ge0\Leftrightarrow\left(B-4\right)\left(B+16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}B-4\ge0\\B+16\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}B-4\le0\\B+16\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}B\ge4\\B\ge-16\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}B\le4\\B\le-16\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge4\)
vậy \(GTNN\) của \(B\) là \(4\) ; dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{B}{2}=\dfrac{4}{2}=2\Leftrightarrow x=4\)
câu 2) a) ta có : \(\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+4x+1\right)=6x^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+x^2-x^3-4x^2-x+x^2+4x+1-6x^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^4+3x^3-8x^2+3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3+4x^3-4x^2-4x^2+4x-x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-1\right)+4x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+4x^2-4x-1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2+5x^2-5x+x-1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2\left(x-1\right)+5x\left(x-1\right)+x-1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x^2+5x+1=0\end{matrix}\right.\)
với : \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
với : \(x^2+5x+1=0\) ta có : \(\Delta=5^2-4=25-4=21>0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2};x=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\)
vậy \(x=1;x=\dfrac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\)
b) ta có : \(3x^2+2x=2\sqrt{x^2+x}+1-x\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3x-2\sqrt{x^2+x}-1=0\) (1)
đặc \(\sqrt{x^2+x}=t\left(t\ge0\right)\)
khi đó (1) \(\Leftrightarrow3t^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(3t+1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-1=0\\3t+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(N\right)\\t=-\dfrac{1}{3}\left(L\right)\end{matrix}\right.\) với \(t=1\Rightarrow\sqrt{x^2+x}=1\Leftrightarrow x^2+x=1\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\) ta có \(\Delta=1^2-4\left(-1\right)=5>0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)
vậy \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
c) ta có : \(\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x+1}-2x=\sqrt{x^2+4x+3}-\sqrt{x+3}\)
\(\Leftrightarrow2x\left(\sqrt{x+1}-1\right)=\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+1}-1\right)\) (1)
nhận xét ta thấy \(x=0\) là nghiệm của phương trình .
ta xét trường hợp \(x\ne0\Rightarrow\sqrt{x+1}-1\ne0\)
khi đó (1) \(\Leftrightarrow2x=\sqrt{x+3}\Leftrightarrow4x^2=x+3\Leftrightarrow4x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x+3\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4x+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{-3}{4}\end{matrix}\right.\)
vậy \(x=0;x=1;x=\dfrac{-3}{4}\)
d) ta có : \(x^2+9x+20=2\sqrt{3x+10}\Leftrightarrow9x^2+81x+180=18\sqrt{3x+10}\)
\(\Leftrightarrow\left(9x^2+60x+100\right)+21x+70+10-18\sqrt{3x+10}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+10\right)^2+7\left(3x+10\right)-18\sqrt{3x+10}+10=0\) (1)
đặt \(\sqrt{3x+10}=t\left(t\ge0\right)\)
khi đó : (1) \(\Leftrightarrow t^4+7t^2-18t+10=0\Leftrightarrow t^4-t^3+t^3-t^2+8t^2-8t-10t+10=0\)
\(\Leftrightarrow t^3\left(t-1\right)+t^2\left(t-1\right)+8t\left(t-1\right)-10\left(t-1\right)=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^3+t^2+8t-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^3-t^2+2t^2-2t+10t-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2\left(t-1\right)+2t\left(t-1\right)+10\left(t-1\right)\right)=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-1\right)\left(t^2+2t+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-1=0\\t^2+2t+10=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t\in\varnothing\end{matrix}\right.\) với \(t=1\) ta có : \(\sqrt{3x+10}=1\Leftrightarrow3x+10=1\Leftrightarrow x=-3\)
vậy \(x=-3\)
bài 3) a) ta có : \(\sqrt{abc}>1\Leftrightarrow\sqrt{abc}-1>0\)
ta có : \(\dfrac{\sqrt{\dfrac{abc+4}{a}-4\sqrt{\dfrac{bc}{a}}}}{\sqrt{abc}-2}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\) \(\Leftrightarrow\sqrt{a}\sqrt{\dfrac{abc+4}{a}-4\sqrt{\dfrac{bc}{a}}}=\sqrt{abc}-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(\dfrac{abc+4}{a}\right)-4\sqrt{\dfrac{a^2bc}{a}}}=\sqrt{abc}-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{abc-4\sqrt{abc}+4}=\sqrt{abc}-2\) \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{abc}-2\right)^2}=\sqrt{abc}-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{abc}-2=\sqrt{abc}-2\) luôn đúng \(\Rightarrowđpcm\)
b) ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)
ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge4\ge2a+2b+2c\)
áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có : \(\dfrac{1}{2a+2bc+1}+\dfrac{1}{2b+2ca+1}+\dfrac{1}{2c+2ab+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2a+2bc+1}+\dfrac{1}{2b+2ca+1}+\dfrac{1}{2c+2ab+1}\ge\dfrac{9}{4+2+3}=\dfrac{9}{9}=1\) (đpcm)
bài này mk nghĩ đề sai vì chẳng có giá trị nào của \(a;b;c\) làm dấu "=" xảy ra .
câu 4) hình mk vẽ chung chung nha bn .
a) ta có : tứ giác \(ADHE\) là tứ giác nôi tiếp vì \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90\)
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\) ; mà góc \(\widehat{AHE}=\widehat{ACH}\) vì cùng bù góc \(\widehat{EHC}\)
từ tính chất bắc cầu ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{ACH}\)
xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AED\)
ta có 2 tam giác có chung góc \(\widehat{BAC}\) và có \(\widehat{ADE}=\widehat{ACH}\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AED\left(đpcm\right)\)
b) từ \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AH\) ta được điểm \(N\)
từ \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AH\) ta được điểm \(M\)
ta có : \(S_{\Delta ABC}=2S_{ADHE}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}AH.BC=2AH.DN\) \(\Leftrightarrow BC=4DN\)
tương tự ta có : \(BC=4EM\)
ta có : \(BC=4DN=4EM\) khi và chỉ khi \(H\) là chung điểm của \(BC\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác vuông cân (đpcm) .
câu 5) vì đề bài yêu cầu tính giá trị của \(Q\) \(\Rightarrow\) giá trị của \(Q\) là 1 hằng số
vậy muốn tìm giá trị của \(Q\) ta chỉ cần tìm \(x;y;z\) thỏa mản điều kiện rồi thế vào .
ta có \(x=y=z=\sqrt{\dfrac{2011}{3}}\) khi đó \(x;y;z\) thỏa mản tất cả các điều kiện
thế vào ta có : \(Q=4022\)
vậy giá trị của \(Q\) là \(4022\)