B1:\(x\ne y;y\ne 1;x,y>0\)
\(A=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x}+x-y+y\sqrt{y}-xy\sqrt{x}-xy\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{xy}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\sqrt{xy}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
B2:a)\(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{x}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{x\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{x\left(a-b\right)}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(b-c\right)-x\left(a-c\right)+x\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow0=2\)(vì a;b;c là 3 số đôi một phân biệt)
Dễ thấy điều trên vô lí nên pt vô nghiệm
b)\(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{2x}{\left(a-b\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(a-d\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}-\dfrac{2x\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(a-d\right)-2x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)
\(\Leftrightarrow x\left(a-d\right)-2x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)=4a\left(a-b\right)\)
(vì a và 3 số b,c,d \(\ne a\) nên (a-b)(a-c)(a-d)\(\ne \)0)
\(\Leftrightarrow\left(2a-3b+2c-d\right)x=4a\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4a\left(a-b\right)}{2a-3b+2c-d}=\dfrac{4a\left(a-b\right)}{2a-3b+b+d-d}=2a\)(b+d=2c)
Vậy...
B3: Gọi vận tốc riêng xuồng máy và vận tốc dòng nước lần lượt là \(\)\(a;b(km/h)>0\)
Vận tốc đi là a+b (km/h) suy ra thời gian đi là \(\dfrac{48}{a+b}\)(h)
Vận tốc về là a-b (km/h) suy ra thời gian về là \(\dfrac{48}{a-b}\) (h)
Cả đi lẫn về mất 7 giờ hay \(\dfrac{48}{a+b}\)+ \(\dfrac{48}{a-b}\)=7 (1)
Mà vận tốc bè trôi là b km/h suy ra thời gian bè trôi đến C là 12/b (h)
Thời gian xuồng đi từ A->B về C là \(\dfrac{48}{a+b}+\dfrac{36}{a-b}\)h
Thời gian xuồng đi từ A->B về C bằng thời gian bè trôi đến C hay \(\dfrac{48}{a+b}+\dfrac{36}{a-b}\)=12/b (2)
Thay vào pt(1) ta có: \(\dfrac{48}{\dfrac{7b^2}{7b-12}+b}+\dfrac{48}{\dfrac{7b^2}{7b-12}-b}=7\)
\(\Leftrightarrow b-2=0\Leftrightarrow b=2\)\(\Leftrightarrow a=14\) (thỏa)
Vậy ...
B4:
AN cắt BC tại H
Vì t.gíac ABC có AH;CD;BM đồng quy nên ta có:
\(\dfrac{AD}{DB}\cdot\dfrac{BH}{HC}\cdot\dfrac{CM}{AM}=1\) (ceva)
Mà AM=CM ((BM là dg trung tuyến))
Suy ra \(\dfrac{AD}{DB}\cdot\dfrac{BH}{HC}=1\)
Mà CD là dg phân giác suy ra \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\)\(\Leftrightarrow \dfrac{AD}{BD+AD}=\dfrac{AC}{BC+AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{BC+AC}\)
Mà t.giác BDC có A;N;H thẳng hàng: \(\dfrac{AD}{AB}\cdot\dfrac{HB}{HC}\cdot\dfrac{NC}{ND}=1\)(Menelaus)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{BC+AC}\cdot\dfrac{BC}{AC}\cdot\dfrac{NC}{ND}=1\)\(\Leftrightarrow\dfrac{BC}{BC+AC}\cdot\dfrac{NC}{ND}=1\)
\(\)\(\Leftrightarrow\dfrac{BC}{BC+AC}=\dfrac{ND}{NC}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{BC+AC}{BC}=\dfrac{NC}{ND}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{BC}+1=\dfrac{NC}{ND}\)\(\Leftrightarrow1=\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AC}{BC}\)
Hay ta có ĐPCM
B5:Ta sẽ chứng minh \(A\ge 155\) với a=2;b=5;c=6
Đặt \(a=x+2;b=y+5;c=z+5(x;y;z\ge 0)\)
\(gt\Leftrightarrow2x^2+y^2+z^2+8x+10y+10z=11\)
Và \(A\Leftrightarrow12x+13y+11z\ge11\)
Giả sử \(12x+13y+11z<11\)
Đặt \(x=kp;y=kq;z=kr (q;p;r\ge 0)\) với \(k>0\) và \(12p+13q+11r=11\) vậy \(k<1\) hay
\(11=2x^2+y^2+z^2+8x+10y+10z=k^2(2p^2+q^2+r^2)+k(8p+10q+10r)\)
\(<2p^2+q^2+r^2+8p+10q+10r\)
Vô lí nên ta sẽ chứng minh \(2p^2+q^2+r^2+8p+10q+10r\leq11\)
\(\Leftrightarrow 2p^2+q^2+r^2+\frac{(8p+10q+10r)(12p+13q+11r)}{11}\leq\frac{(12p+13q+11r)^2}{11}\)
\(\Leftrightarrow 13p^2+14q^2+44pq+28pr+23qr\geq0\)
BĐT cuối luôn đúng hay ta có MinA=155 khi a=2;b=5;c=6