Bài 1:
\(A=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)ĐKXĐ:\(x\ge0\); \(y\ge0\); \(y\ne1\); \(x+y\ne0\)
\(A=\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)-y\left(1-\sqrt{y}\right)-xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(A=\dfrac{\left(x-y\right)+\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\right)-xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+x-\sqrt{xy}+y-xy\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+1\right)+y\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+y-y\sqrt{x}}{1-\sqrt{y}}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)-\sqrt{y}\left(1-\sqrt{y}\right)}{1-\sqrt{y}}\)
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}\)
Vậy \(A=\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}\)
Bài 2:
a)\(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{x}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\)
\(\Rightarrow x\left(b-c\right)-x\left(a-c\right)+x\left(a-b\right)=2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
\(\Leftrightarrow bx-cx-ax+cx+ax-bx=2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
\(\Leftrightarrow0x=2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
Theo bài, a, b, c là 3 số đôi một phân biệt nên: \(a\ne b\), \(b\ne c\), \(c\ne a\)
hay: \(2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow0x\ne0\)\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm
Vậy \(S=\varnothing\)
b)\(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{2x}{\left(a-b\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)
\(\Rightarrow x\left(a-d\right)-2x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)=4a\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow ax-dx-2ax+2cx+3ax-3bx=4a\left(a-b\right)\) (1)
Vì \(b+d=2c\) nên ta có:
(1)\(\Leftrightarrow ax-dx-2ax+bx+dx+3ax-3bx=4a\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow2ax-2bx=4a\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow2x\left(a-b\right)=4a\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2x-4a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\2x-4a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\x=2a\end{matrix}\right.\)(loại a=b vì theo bài a\(\ne\)b)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=2a\)
Bài 3:
Gọi vận tốc của xuồng máy là x (km/h), vận tốc của dòng nước là y (km/h) (x > y).
Vì bè trôi tự do nên ta có vận tốc của bè chính là vận tốc dòng nước.
Thời gian xuồng xuôi dòng là: \(\dfrac{48}{x+y}\) (h)
Thời gian xuồng ngược dòng là: \(\dfrac{48}{x-y}\) (h)
Theo bài, thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ nên ta có phương trình:
\(\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=7\) (1)
Quãng đường xuồng đi ngược dòng đến lúc gặp bè trôi là:
\(48-12=36\) (km)
Thời gian xuồng ngược dòng đến lúc gặp bè là: \(\dfrac{36}{x-y}\) (h)
Thời gian xuồng xuôi dòng từ A đến lúc gặp bè là:
\(\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}\) (h) (*)
Mặt khác, khi cách A 12 km thì xuồng gặp bè nên ta có thời gian bè xuôi dòng từ A đến lúc gặp xuồng là: \(\dfrac{12}{y}\) (h) (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có phương trình:
\(\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}=\dfrac{12}{y}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=7\\\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}=\dfrac{12}{y}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}48\left(x-y\right)+48\left(x+y\right)=7\left(x-y\right)\left(x+y\right)\\48y\left(x-y\right)+36y\left(x+y\right)=12\left(x+y\right)\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\84xy=12x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\left(3\right)\\7y=x\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Thay (4) vào (3) ta có:
\(96.7y=7.\left(7y\right)^2-7y^2\)
\(\Leftrightarrow672y=336y^2\) \(\Leftrightarrow y=2\)(km/h)
\(\Rightarrow x=7.2=14\) (km/h)
Vậy vận tốc của xuồng máy là 14 (km/h) và vận tốc của dòng nước là 2 (km/h).
Bài 5:
P đạt giá trị nhỏ nhất khi a, b, c là nhỏ nhất.
Ta có: \(2a^2+b^2+c^2=69\) (1)
Theo bài, \(a\ge2,b\ge5,c\ge5\) nên để P nhỏ nhất và thỏa mãn (1) thì a = 2.\(\Rightarrow b^2+c^2=69-2.2^2=61\)
Vì \(b\ge5,c\ge5\) nên để P nhỏ nhất thì b = 5 hoặc c = 5.
+, Nếu b = 5 \(\Rightarrow c=6\). Khi đó \(P=12.2+13.5+11.6=155\)
+, Nếu c = 5 \(\Rightarrow b=5\). Khi đó \(P=12.2+13.6+11.5=157\)
Vì 155 < 157 nên GTNN của P là 155 khi a = 2 , b = 5, c = 6.
Vậy GTNN của P = 155 với a = 2, b = 5, c = 6.
Bài 4:
Qua N kẻ IH // AB, qua M kẻ MK // AB.
Theo tính chất đường trung tuyến ta có: AM = CM .
Chứng minh các tam giác đồng dạng ta được đẳng thức:
\(\dfrac{ND}{NC}=\dfrac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow NC.BD=ND.AB\)
\(\Leftrightarrow NC.BD=ND.\left(AD+BD\right)\)
\(\Leftrightarrow NC.BD=ND.AD+ND.BD\)
\(\Leftrightarrow\)\(NC.BD-ND.AD=ND.BD\)
\(\Rightarrow\dfrac{NC.BD}{ND.BD}-\dfrac{ND.AD}{ND.BD}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AD}{BD}=1\) (1)
Vì CD là tia phân giác của \(\Delta ABC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\) (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AC}{BC}=1\) (đpcm)