Câu 1:
\(A=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\\ ĐKXĐ:\left\{{}\begin{matrix}x\ne y\\y\ne1\\x;y>0\end{matrix}\right.\\ =\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{y\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x}+x-y+y\sqrt{y}-xy\sqrt{x}-xy\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
Vậy \(A=\dfrac{x\sqrt{x}+x-y+y\sqrt{y}-xy\sqrt{x}-xy\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\) với \(x,y>0;x\ne y;y\ne1\)
Câu 2:
\(\text{a) }\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{x}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=2\\ \Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\right)=2\\ \Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right)=2\\ \Leftrightarrow x\left(\dfrac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-\dfrac{a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{a-b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right)=2\\ \Leftrightarrow x\cdot\dfrac{b-c-a+c+a-b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\\ \Leftrightarrow x\cdot\dfrac{0}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\\ \Leftrightarrow0x=2\)Vậy phương trình vô nghiệm.
\(\text{b) }\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{2x}{\left(a-b\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x\left(a-d\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}-\dfrac{2x\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)\(\Leftrightarrow x\left(a-d\right)-2x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left(a-d\right)-x\left(2a-2c\right)+x\left(3a-3b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left(a-d-2a+2c+3a-3b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left(2a-d+2c-3b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left(2a-d+b+d-3b\right)=4a\left(a-b\right)\left(\text{Vì }2c=b+d\right)\\ \Leftrightarrow x\left(2a-2b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\cdot2\left(a-b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x=2a\left(Vì\text{ }a-b\ne0\right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=2a\)
Câu 3:
Gọi vận tốc riêng của xuồng máy là \(x\left(km/h\right)\left(x>0\right)\)
Vận tốc của dòng nước là \(y\left(km/h\right)\left(0< y< x\right)\)
Vận tốc xuôi dòng của xuồng máy là \(x+y\left(km/h\right)\)
Vận tốc ngược dòng của xuồng máy là \(x-y\left(km/h\right)\)
Thời gian xuôi dòng của xuồng máy là \(\dfrac{48}{x+y}\left(h\right)\)
Thời gian xuồng máy ngược dòng về A là \(\dfrac{48}{x-y}\left(h\right)\)
Khi gặp bè trôi:
- Xuống máy đi được \(\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}\left(h\right)\)
- Bè trôi đi được \(\dfrac{12}{y}\left(h\right)\)
Vì thời gian cả đi lẫn về của xuồng máy là \(7\left(h\right)\), khi gặp nhau thời gian đi của xuồng máy và bè trôi bằng nhau nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=7\\\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}=\dfrac{12}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=7\\\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{3}{x-y}=\dfrac{1}{y}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{48\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{48\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=\dfrac{7\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}\\\dfrac{4y\left(x-y\right)}{y\left(x+y\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{3y\left(x+y\right)}{y\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{y\left(x+y\right)\left(x-y\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\4xy-4y^2+3xy+3y^2=x^2-y^2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\7xy-y^2-x^2+y^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\7xy-x^2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\x\left(7y-x\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\7y-x=0\left(Vì\text{ }x\ne0\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}96x=7x^2-7y^2\\y=\dfrac{1}{7}x\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow96x=7x^2-7\left(\dfrac{1}{7}x\right)^2\\ \Leftrightarrow96x=7x^2-\dfrac{1}{7}x^2\\ \Leftrightarrow96x=\dfrac{48}{7}x^2\\ \Leftrightarrow96x-\dfrac{48}{7}x^2=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{48}{7}x\left(14-x\right)=0\left(Vì\text{ }\dfrac{48}{7}x\ne0\right)\\ \Leftrightarrow14-x=0\\ \Leftrightarrow x=14\left(T/m\right)\\ \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{7}\cdot14=2\left(T/m\right)\)
Vậy vận tốc riêng của xuồng máy là \(14\left(km/h\right)\)
Vận tốc dòng nước là \(2\left(km/h\right)\)
Câu 4:
Trên tia đối của tia MB kẻ lấy E sao cho \(ME=MB\)
\(\Rightarrow M\text{ là trung điểm của }BE\left(\text{Cách vẽ}\right)\\ \text{Mà }M\text{ là trung điểm của }AC\left(gt\right)\\ \Rightarrow\text{Tứ giác }AECB\text{ là hình bình hành }\left(\text{Dấu hiệu nhận biết}\right)\\ \Rightarrow AB//EC\left(2\text{ cạnh đối hình bình hành}\right)\)
Xét \(\Delta DNB\) và \(\Delta CNE\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DNB}=\widehat{CNE}\left(2\text{ góc đối đỉnh}\right)\\\widehat{DBN}=\widehat{CEN}\left(2\text{ góc so le trong };AB//EC\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta DNB\sim\Delta CNE\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{ND}{NC}=\dfrac{DB}{CE}\left(\text{Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ}\right)\)
Mà \(CE=AB\left(2\text{ cạnh đối hình bình hành}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{ND}{NC}=\dfrac{DB}{AB}\\ \Rightarrow\dfrac{NC}{ND}=\dfrac{AB}{DB}=\dfrac{DB+AD}{DB}=\dfrac{DB}{DB}+\dfrac{AD}{DB}=1+\dfrac{AD}{DB}\\ \Rightarrow\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AD}{DB}=1\left(1\right)\)
Trong \(\Delta ABC\) có: \(CD\text{ là phân giác }\widehat{C}\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC}{BC}\left(\text{Tính chất dường phân giác trong }\Delta\right)\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AC}{BC}=1\left(đpcm\right)\)
Câu 5:
\(\text{Ta có : }\left\{{}\begin{matrix}a\ge2\\b\ge5\\c\ge5\end{matrix}\right.\\ \text{Đặt }\left\{{}\begin{matrix}a=2+x\\b=5+y\\c=5+z\end{matrix}\right.\left(x;y;x\ge0\right)\)
\(\text{Mặt khác: }2a^2+b^2+c^2=69\\ \Leftrightarrow2\left(x+2\right)^2+\left(y+5\right)^2+\left(z+5\right)^2=69\\ \Leftrightarrow2\left(x^2+4x+4\right)+y^2+10y+25+z^2+10z+25=69\\ \Leftrightarrow2x^2+8x+y^2+10y+z^2+10z=11\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+10\left(x+y+z\right)+\left(x^2-2x+1\right)=12\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+10\left(x+y+z\right)+\left(x-1\right)^2=12\\ \text{Mà }x;y;z\ge0\Rightarrow2xy;2xz;2yz\ge0\\ \Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\right)+10\left(x+y+z\right)+\left(x-1\right)^2\ge12\\ \Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+10\left(x+y+z\right)+\left(x-1\right)^2\ge12\)
+) Với \(x+y+z< 1\), Bất đẳng thức không xảy ra \(\rightarrow\) loại
+) Với \(x+y+z\ge1\Rightarrow1^2+10+\left(x-1\right)^2\ge12\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge1\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1\le1\\x-1\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge2\end{matrix}\right.\\ Mà\text{ }x\ge0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x\ge2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=12a+13b+11c\\ =12\left(x+2\right)+13\left(y+5\right)+11\left(z+5\right)\\ =12x+24+13y+65+11z+55\\ =\left(11x+11y+11z\right)+\left(x+2y\right)+144\\ =11\left(x+y+z\right)+\left(x+2y\right)+144\\ \text{Mà }x;y\ge0\\ x+y+z\ge1\\ \Rightarrow11\left(x+y+z\right)+\left(x+2y\right)+144\ge11+0+144=155\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x=0\\2y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=1\\x=0\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0+2=2\\b=0+5=5\\c=1+5=6\end{matrix}\right.\)
Vậy \(P_{Min}=155\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\\c=6\end{matrix}\right.\)