bài 1) \(đk:y\ne1\)
\(A=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)-y\left(1-\sqrt{y}\right)-xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}-y\sqrt{x}-\sqrt{y}+y}{1-\sqrt{y}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x}\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)-\sqrt{y}\left(1-\sqrt{y}\right)}{1-\sqrt{y}}\)
bài 2) a) ta có : \(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{x}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\)
\(\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(b-c\right)-x\left(a-c\right)+x\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{0}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\left(vôlí\right)\)
vậy phương trình vô nghiệm .
b) ta có : \(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{2x}{\left(a-b\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(a-d\right)-2x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)-4a\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow ax-dx-2ax+2cx+3ax-3bx-4a\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2ax-3bx+2cx-dx-4a\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2ax-3bx+2cx-\left(2c-b\right)x-4a\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2ax-3bx+2cx-2cx+bx-4a\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2ax-2bx-4a\left(a-b\right)=0\Leftrightarrow2x\left(a-b\right)-4a\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-4a\right)\left(a-b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-4a=0\\a-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2a\left(N\right)\\a=b\left(L\right)\end{matrix}\right.\)
vậy \(x=2a\)
bài 3) đặc \(x\) là vận tốc của xuồng máy ; \(y\) là vận tốc của nước \(\left(x>y>0\right)\)
\(\Rightarrow\) vận tốc lúc xuôi dòng là \(x+y\) ; còn lúc ngược dòng là \(x-y\)
vì xuồng máy xuôi dòng được \(48km\) thì trở về \(A\) ; cả đi lẩn về là \(7\) giờ .
\(\Rightarrow\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=7\) (1)
vì lúc về còn cách \(A\) \(12km\) thì xuồng máy gặp bè trôi .
\(\Rightarrow\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}=\dfrac{12}{y}\) (2)
từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{48}{x-y}=7\\\dfrac{48}{x+y}+\dfrac{36}{x-y}=\dfrac{12}{y}\end{matrix}\right.\)
giải hệ ta được \(x=14;y=2\)
vậy vận tốc của xuồng máy là \(12km\backslash h\) và vận tốc của nước là \(2km\backslash h\)
câu 4)
đặc \(I\) là trung điểm \(DC\)
vì \(CD\) là phân giác của \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\) (điều này luôn đúng)
ta có \(BD\backslash\backslash IM\Rightarrow\Delta NDB\) đồng dạng \(\Delta NIM\) \(\Rightarrow\dfrac{NI}{ND}=\dfrac{IM}{BD}\)
ta có : \(\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AC}{BC}=1\Leftrightarrow\dfrac{NC}{ND}-1=\dfrac{AC}{BC}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{NC-ND}{ND}=\dfrac{AC}{BC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(NI+IC\right)-\left(DI-NI\right)}{ND}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{\left(NI+IC\right)-\left(IC-NI\right)}{ND}=\dfrac{AC}{BC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2NI}{ND}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{2IM}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\) (vì \(AD=2IM\))
\(\Leftrightarrow AD.BC=AC.BD\Leftrightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\left(đúng\right)\)
vậy \(\dfrac{NC}{ND}-\dfrac{AC}{BC}=1\) là đúng (đpcm)
câu 5) ta có : \(a\ge2;b\ge5;c\ge5\)
\(\Rightarrow a=\left(2+x\right);b\left(5+y\right);c=\left(5+z\right)\) với \(x;y;z\ge0\) và ít nhất phải có 1 số lớn hơn \(0\)
ta có : \(P=12a+13b+11c=12\left(2+x\right)+13\left(5+y\right)+11\left(5+z\right)\)
\(\Leftrightarrow P=24+12x+65+13y+55+11z\)
\(\Leftrightarrow P=144+\left(11x+11y+11z\right)+x+2y\ge144+\left(11x+11y+11z\right)\)
\(\Rightarrow minP=144+11x+11y+11z\) xảy ra khi \(x=y=0\)
khi \(x=y=0\) thì \(2a^2+b^2+c^2=2\left(2+0\right)^2+\left(5+0\right)^2+\left(5+z\right)^2=69\)
\(\Leftrightarrow8+25+25+10z+z^2=69\Leftrightarrow z^2+10z+58=69\)
\(\Leftrightarrow z^2+10z+58-69=0\Leftrightarrow z^2+10z-11=0\) \(\Leftrightarrow\left(z-1\right)\left(z+11\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z-1=0\\z+11=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=1\left(N\right)\\z=-11\left(L\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow minP=144+11=155\) khi \(a=2;b=5;c=5+1=6\)
vậy \(GTNN\) của \(P=12a+13b+11c\) là \(155\) khi \(a=2;b=5;c=6\)